Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
a)

Passo 1

Beleza, então o enunciado da questão nos diz para considerar os números naturais, que em matemática representamos por . A gente precisa dar um exemplo e/ou um contraexemplo para a proposição aberta . Isso significa que vamos verificar quais valores de fazem essa desigualdade verdadeira e quais não fazem, usando apenas números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Os números naturais são aqueles que usamos para contar: . Agora, a proposição quer dizer que, se somarmos 1 a algum número natural , o resultado deve ser maior que 2.

Passo 3

Vamos testar alguns valores de para ver se a desigualdade se mantém verdadeira.
  • Exemplo:
    Vamos escolher . Substituindo na desigualdade:
    Isso é verdade, então é um exemplo que satisfaz a proposição.

Passo 4

Agora, vamos procurar um contraexemplo, ou seja, um valor de que faça a desigualdade não ser verdadeira.
  • Contraexemplo:
    Vamos escolher . Substituindo na desigualdade:
    Aqui, 2 não é maior que 2, então é um contraexemplo que não satisfaz a proposição.

Resposta

Um exemplo que satisfaz a proposição é , pois . Um contraexemplo é , pois não é maior que 2.

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Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
a)
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
d) Por duas retas paralelas passa um só plano.
Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
f)
Tomando como o universo de discurso, transcreva cada proposição quantificada a seguir para linguagem natural e decida seu valor lógico.
f)