Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a proposição onde é um número natural, ou seja, . Vamos ver se essa afirmação é verdadeira ou se existe algum número que a torne falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Sabemos que a raiz quadrada de é o próprio quando consideramos números naturais, já que é sempre positivo. Então, .

Passo 3

Substituindo por na proposição, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação para ver se ela sempre é verdadeira ou se há algum valor de que a torne falsa.

Passo 4

Vamos subtrair de ambos os lados da desigualdade:
Simplificando:
Isso nos mostra que a desigualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor de .

Resposta

A proposição é sempre verdadeira para qualquer número natural . Não existe nenhum valor de que a torne falsa.

Exercícios relacionados

Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
a)
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
a)
Tomando como o universo de discurso, transcreva cada proposição quantificada a seguir para linguagem natural e decida seu valor lógico.
f)
Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
b)