Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a proposição
onde
é um número natural, ou seja,
. Vamos ver se essa afirmação é verdadeira ou se existe algum número que a torne falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Sabemos que a raiz quadrada de
é o próprio
quando consideramos números naturais, já que
é sempre positivo. Então,
.
Passo 3
Substituindo
por
na proposição, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação para ver se ela sempre é verdadeira ou se há algum valor de
que a torne falsa.
Passo 4
Vamos subtrair
de ambos os lados da desigualdade:
Simplificando:
Isso nos mostra que a desigualdade
é sempre verdadeira, independentemente do valor de
.
Resposta
A proposição
é sempre verdadeira para qualquer número natural
. Não existe nenhum valor de
que a torne falsa.
Exercícios relacionados
Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
a)
a)
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
a)
a)
Tomando
como o universo de discurso, transcreva cada proposição quantificada a seguir para linguagem natural e decida seu valor lógico.
f)
f)
Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha
:
b)
b)