Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
b)
ou
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar um exemplo e/ou um contraexemplo para a proposição
ou (
e
), considerando que
está nos números naturais (
). Isso tá ligado à lógica proposicional, onde a gente verifica se a afirmação é verdadeira ou falsa para certos valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a proposição:
-
: Significa que é menor que 2. -
e : Aqui, precisa ser menor que 5 e maior que 3 ao mesmo tempo.
A proposição toda usa “ou” (
), então basta que uma das partes seja verdadeira para que a proposição seja verdadeira.
Passo 3
Vamos testar alguns valores de
:
Exemplo:
-
-
? Sim, é verdadeiro. - Não precisa verificar a segunda parte porque já sabemos que a proposição é verdadeira.
-
Outro exemplo:
-
-
? Não, é falso. -
e ? Sim, ambos são verdadeiros. - Portanto, a proposição também é verdadeira.
-
Passo 4
Agora, vamos ver alguns contraexemplos, ou seja, valores de
que deixam a proposição falsa:
-
-
? Não, é falso. -
? Sim, mas ? Não. - Então, a proposição inteira fica falsa.
-
-
-
? Não. -
? Não. - Então, a proposição também é falsa.
-
Resposta
Um exemplo que satisfaz a proposição é
ou
. Um contraexemplo é
ou
.
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Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
b)
b)
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
k) Se divide
e
divide
, então
divide
.
k) Se
Em cada caso, decida se
é condição necessária e/ou suficiente para
:
d) é o conjunto dos triângulos
é equilátero.
é isósceles.
d)
Tomando
como o universo de discurso, transcreva cada proposição quantificada a seguir para linguagem natural e decida seu valor lógico.
b)
b)