Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
b)
b)
Passo 1
Aqui temos uma questão de lógica proposicional. O enunciado pede para determinar se a proposição
é uma tautologia. Uma tautologia é uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de verdade das variáveis envolvidas. Para resolver isso, vamos analisar todas as possíveis combinações de valores para
e
e verificar se a proposição é verdadeira em todos os casos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada operador lógico:
-
é uma implicação que é falsa somente quando é verdadeiro e é falso; nas outras situações, é verdadeira. -
é uma conjunção que é verdadeira somente quando ambos e são verdadeiros. -
é uma implicação que é falsa somente quando é verdadeiro e é falso; nas outras situações, é verdadeira.
Vamos montar uma tabela de verdade para avaliar a proposição.
Passo 3
Vamos considerar todas as possíveis combinações de valores para
e
:
-
verdadeiro (V), verdadeiro (V) -
verdadeiro (V), falso (F) -
falso (F), verdadeiro (V) -
falso (F), falso (F)
Agora, vamos calcular cada parte da proposição.
Passo 4
Vamos calcular
:
- Se
=V e =V, então =V - Se
=V e =F, então =F - Se
=F e =V, então =V (implicação com antecedente F é sempre V) - Se
=F e =F, então =V
Passo 5
Agora, calculamos
:
-
=V e =V, então =V -
=F e =F, então =F -
=V e =V, então =V -
=V e =F, então =F
Passo 6
Finalmente, avaliamos
:
-
=V e =V, então a implicação é V -
=F, então a implicação é V (implicação com antecedente F é sempre V) -
=V e =F, então a implicação é F -
=F, então a implicação é V
Resposta
A proposição
não é uma tautologia, pois há uma situação em que ela é falsa (quando
é falso e
é verdadeiro).
Exercícios relacionados
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
k) Se divide
e
divide
, então
divide
.
k) Se
Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
b) O número não é primo.
b) O número
Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
b) ou
e
b)
Em cada caso, decida se
é condição necessária e/ou suficiente para
:
d) é o conjunto dos triângulos
é equilátero.
é isósceles.
d)