Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
b)

Passo 1

Aqui temos uma questão de lógica proposicional. O enunciado pede para determinar se a proposição é uma tautologia. Uma tautologia é uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de verdade das variáveis envolvidas. Para resolver isso, vamos analisar todas as possíveis combinações de valores para e e verificar se a proposição é verdadeira em todos os casos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada operador lógico:
  • é uma implicação que é falsa somente quando é verdadeiro e é falso; nas outras situações, é verdadeira.
  • é uma conjunção que é verdadeira somente quando ambos e são verdadeiros.
  • é uma implicação que é falsa somente quando é verdadeiro e é falso; nas outras situações, é verdadeira.
Vamos montar uma tabela de verdade para avaliar a proposição.

Passo 3

Vamos considerar todas as possíveis combinações de valores para e :
  1. verdadeiro (V), verdadeiro (V)
  2. verdadeiro (V), falso (F)
  3. falso (F), verdadeiro (V)
  4. falso (F), falso (F)
Agora, vamos calcular cada parte da proposição.

Passo 4

Vamos calcular :
  1. Se =V e =V, então =V
  2. Se =V e =F, então =F
  3. Se =F e =V, então =V (implicação com antecedente F é sempre V)
  4. Se =F e =F, então =V

Passo 5

Agora, calculamos :
  1. =V e =V, então =V
  2. =F e =F, então =F
  3. =V e =V, então =V
  4. =V e =F, então =F

Passo 6

Finalmente, avaliamos :
  1. =V e =V, então a implicação é V
  2. =F, então a implicação é V (implicação com antecedente F é sempre V)
  3. =V e =F, então a implicação é F
  4. =F, então a implicação é V

Resposta

A proposição não é uma tautologia, pois há uma situação em que ela é falsa (quando é falso e é verdadeiro).

Exercícios relacionados

Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
k) Se divide e divide , então divide .
Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
b) O número não é primo.
Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
b) ou e
Em cada caso, decida se é condição necessária e/ou suficiente para :
d) é o conjunto dos triângulos é equilátero.
é isósceles.