Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
b) ((p implica q) e q) implica p

Passo 1

Aqui temos uma questão de lógica proposicional. O enunciado pede para determinar se a proposição ((p implica q) e q) implica p é uma tautologia. Uma tautologia é uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de verdade das variáveis envolvidas. Para resolver isso, vamos analisar todas as possíveis combinações de valores para p e q e verificar se a proposição é verdadeira em todos os casos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada operador lógico:
  • p -> q é uma implicação que é falsa somente quando p é verdadeiro e q é falso; nas outras situações, é verdadeira.
  • é uma conjunção que é verdadeira somente quando ambos A e B são verdadeiros.
  • é uma implicação que é falsa somente quando A é verdadeiro e B é falso; nas outras situações, é verdadeira.
Vamos montar uma tabela de verdade para avaliar a proposição.

Passo 3

Vamos considerar todas as possíveis combinações de valores para p e q:
  1. p verdadeiro (V), q verdadeiro (V)
  2. p verdadeiro (V), q falso (F)
  3. p falso (F), q verdadeiro (V)
  4. p falso (F), q falso (F)
Agora, vamos calcular cada parte da proposição.

Passo 4

Vamos calcular p -> q:
  1. Se p=V e q=V, então p -> q=V
  2. Se p=V e q=F, então p -> q=F
  3. Se p=F e q=V, então p -> q=V (implicação com antecedente F é sempre V)
  4. Se p=F e q=F, então p -> q=V

Passo 5

Agora, calculamos :
  1. p -> q=V e q=V, então =V
  2. p -> q=F e q=F, então =F
  3. p -> q=V e q=V, então =V
  4. p -> q=V e q=F, então =F

Passo 6

Finalmente, avaliamos ((p implica q) e q) implica p:
  1. =V e p=V, então a implicação é V
  2. =F, então a implicação é V (implicação com antecedente F é sempre V)
  3. =V e p=F, então a implicação é F
  4. =F, então a implicação é V

Resposta

A proposição ((p implica q) e q) implica p não é uma tautologia, pois há uma situação em que ela é falsa (quando p é falso e q é verdadeiro).

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