Considere o poço de potencial 1D de altura infinita e largura L. Obtenha seus auto-estados, suas energias e determine a constante de normalização para cada auto-estado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente analisar um “poço de potencial” unidimensional que tem paredes infinitas e largura . Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde a gente estuda como partículas, tipo elétrons, se comportam em diferentes tipos de potenciais. Aqui, vamos precisar resolver a equação de Schrödinger para encontrar os auto-estados (as funções de onda que descrevem o estado da partícula), as energias associadas a esses estados e determinar a constante de normalização que garante que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um poço de potencial de altura infinita. Imagina que temos uma região de espaço onde a partícula pode se mover livremente, mas nas extremidades e há paredes que a partícula não pode atravessar porque a energia potencial ali é infinita. Isso significa que a função de onda da partícula deve ser zero nessas paredes.

Passo 3

A Equação de Schrödinger independente do tempo para esse caso é dada por:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a função de onda e é a energia da partícula. Nosso objetivo é resolver essa equação dentro do intervalo .

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
d^2 psi(x)dx^2 + 2mEhbar^2 psi(x) = 0
Vamos chamar d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0 , então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial comum cuja solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 5

A solução geral é:
psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que e porque as paredes são de altura infinita.

Passo 6

Primeiro, aplicamos psi(0) = A sin(0) + B cos(0) = B = 0 :
psi(x) = A sin(kx)
Então, a função de onda simplifica para:

Passo 7

Agora, aplicamos psi(L) = A sin(kL) = 0 :
k = npiL
Para que isso seja verdadeiro (com ), precisamos que . Isso acontece quando , onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).
Então,

Passo 8

Lembrando que (npiL)^2 = 2mEnhbar^2 , substituímos En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2 para encontrar as energias:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, precisamos determinar a constante de normalização integral0^L |psi(x)|^2 dx = 1 . Sabemos que a função de onda deve satisfazer a condição de normalização:
A^2 integral0^L sin^2(npi xL) dx = 1
Substituindo integral0^L sin^2(npi xL) dx = L2 :
A^2 cdot L2 = 1 implies A^2 = 2L implies A = raiz2L
Sabemos que:
Então,

Resposta

Os auto-estados do poço são funções de onda normalizadas dadas por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL), n = 1, 2, 3, dots
As energias associadas a cada auto-estado são:
En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2
A constante de normalização para cada auto-estado é .

Exercícios relacionados

Derive.
y=sen^2(e^sen^2(x)).
Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa m grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
a) f(x)=5 x-3, em a=-3.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
f(x)=x^2+x, em a=1.