Considere o poço de potencial 1D de altura infinita e largura
. Obtenha seus auto-estados, suas energias e determine a constante de normalização para cada auto-estado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente analisar um “poço de potencial” unidimensional que tem paredes infinitas e largura
. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde a gente estuda como partículas, tipo elétrons, se comportam em diferentes tipos de potenciais. Aqui, vamos precisar resolver a equação de Schrödinger para encontrar os auto-estados (as funções de onda que descrevem o estado da partícula), as energias associadas a esses estados e determinar a constante de normalização que garante que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um poço de potencial de altura infinita. Imagina que temos uma região de espaço onde a partícula pode se mover livremente, mas nas extremidades
e
há paredes que a partícula não pode atravessar porque a energia potencial ali é infinita. Isso significa que a função de onda da partícula deve ser zero nessas paredes.
Passo 3
A Equação de Schrödinger independente do tempo para esse caso é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a função de onda e
é a energia da partícula. Nosso objetivo é resolver essa equação dentro do intervalo
.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Vamos chamar
, então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial comum cuja solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 5
A solução geral é:
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que
e
porque as paredes são de altura infinita.
Passo 6
Primeiro, aplicamos
:
Então, a função de onda simplifica para:
Passo 7
Agora, aplicamos
:
Para que isso seja verdadeiro (com
), precisamos que
. Isso acontece quando
, onde
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).
Então,
Passo 8
Lembrando que
, substituímos
para encontrar as energias:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, precisamos determinar a constante de normalização
. Sabemos que a função de onda deve satisfazer a condição de normalização:
Substituindo
:
Sabemos que:
Então,
Resposta
Os auto-estados do poço são funções de onda normalizadas dadas por:
As energias associadas a cada auto-estado são:
A constante de normalização para cada auto-estado é
.
Exercícios relacionados
Derive.
.
Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
a) uma massa
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
a) , em
.
a)
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em
.