Derive.
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado da questão pede para derivar a função
. O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo de derivadas, que faz parte da análise matemática. Para resolver isso, precisamos usar algumas regras básicas de derivação, como a regra da cadeia e a derivada do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra. No nosso caso, temos o
dentro do
.
Para derivar
, precisamos aplicar a regra da cadeia duas vezes: uma vez para a função externa (o
) e outra para a função interna (
).
Então, vamos definir:
-
.
Assim, podemos reescrevercomo .
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra da cadeia:
-
A derivada de
em relação a é:
Aqui, estamos usando a derivada da funçãoque é , e aplicando a regra do produto. -
Depois, precisamos calcular
, ou seja, a derivada de em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia novamente: - A derivada de
em relação a é . - Agora precisamos derivar
em relação a , que é:
Portanto,
.
- A derivada de
Agora juntamos tudo usando a regra da cadeia:
Lembrando que substituímos
de volta:
Resposta
Portanto, a derivada da função é:
Exercícios relacionados
Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
a) uma massa
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
Considere uma partícula de massa
em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
onde
é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros e
que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância
e momento linear
.
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função deve satisfazer.
c) Para uma energia , determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda quando a variável
cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando
.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
a) A partir dos parâmetros
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função
c) Para uma energia
d) O que acontece com a curvatura da função de onda
e) Explique por que uma função de onda
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
onde
foi determinado em a) acima e faça
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função
e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
onde
h) Mostre que para
, temos
i) Mostre que
onde
é uma constante, é solução da equação (4) desde que
. Com isto temos que
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia
. Impondo a condição de normalização,
determine a constante
.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
e determine para qual valor de
será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
onde
é uma constante,
é um polinômio de grau
só com potências pares se
for par e só com potências ímpares se
for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em
de
em termos de
e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio
,
Escrevendo
com
, ou
com
, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia
, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta,
. Mostre que o coeficiente de
no lado esquerdo de (9) será igual a
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de
será igual a
. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
ou seja
Essa análise é valida tanto para
par quanto para
ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por
.
Considere o poço de potencial 1D de altura infinita e largura
. Obtenha seus auto-estados, suas energias e determine a constante de normalização para cada auto-estado.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
a) , em
.
a)