Derive.
y=sen^2(e^sen^2(x)).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado da questão pede para derivar a função y=sen^2(e^sen^2(x)). O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo de derivadas, que faz parte da análise matemática. Para resolver isso, precisamos usar algumas regras básicas de derivação, como a regra da cadeia e a derivada do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra. No nosso caso, temos o e^sen^2(x) dentro do sen^2().
Para derivar y, precisamos aplicar a regra da cadeia duas vezes: uma vez para a função externa (o sen^2()) e outra para a função interna ( e^sen^2(x)).
Então, vamos definir:
  • u = e^sen^2(x).
    Assim, podemos reescrever y como y = sen^2(u).

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a x usando a regra da cadeia:
  1. A derivada de sen^2(u) em relação a u é:
    dydu = 2sen(u)cos(u)
    Aqui, estamos usando a derivada da função sen(x) que é cos(x), e aplicando a regra do produto.
  2. Depois, precisamos calcular dudx, ou seja, a derivada de u = e^sen^2(x) em relação a x. Para isso, usamos a regra da cadeia novamente:
    • A derivada de e^sen^2(x) em relação a sen^2(x) é e^sen^2(x).
    • Agora precisamos derivar sen^2(x) em relação a x, que é: ddxsen^2(x) = 2sen(x)cos(x)
      Portanto,
      dudx = e^sen^2(x) cdot 2sen(x)cos(x).
Agora juntamos tudo usando a regra da cadeia:
dydx = dydu cdot dudx = 2sen(u)cos(u) cdot e^sen^2(x) cdot 2sen(x)cos(x).
Lembrando que substituímos u de volta:
dydx = 2sen(e^sen^2(x))cos(e^sen^2(x)) cdot e^sen^2(x) cdot 2sen(x)cos(x).

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
dydx = 4sen(e^sen^2(x))cos(e^sen^2(x)) cdot e^sen^2(x) cdot sen(x)cos(x).

Exercícios relacionados

Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa m grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
Considere uma partícula de massa m em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
V(x)=m omega0^22 x^2
onde omega0 é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros m, omega0 e hbar que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância (l0) e momento linear (p0).
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função varphi(x) deve satisfazer.
c) Para uma energia E, determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda varphi(x) quando a variável x cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda varphi(x) que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando |x| infty.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
u=x / l0
onde l0 foi determinado em a) acima e faça
varphi(x)=phi(u)
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função phi(u) e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
-d^2 phid u^2(u)+u^2 phi(u)=2 epsilon phi(u)
onde
epsilon=Ehbar omega0
h) Mostre que para u>>1, epsilon, temos
phi(u) sim e^-u^2 / 2
i) Mostre que
phi0(u)=N0 e^-u^2 / 2
onde N0 é uma constante, é solução da equação (4) desde que epsilon=1 / 2. Com isto temos que
varphi0(x)=phi(x / l0)=N0 e^-x^2 /(2 l0^2)
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia E=hbar omega0 / 2. Impondo a condição de normalização,
integral-infty^infty|varphi0(x)|^2 d x=1
determine a constante N0.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
phi1(u)=N1 u e^-u^2 / 2
e determine para qual valor de epsilon, phi1(u) será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
phin(u)=Nn Hn(u) e^-u^2 / 2
onde Nn é uma constante, Hn(u) é um polinômio de grau n só com potências pares se n for par e só com potências ímpares se n for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em u de phin(u) em termos de Hn(u) e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio Hn,
-d^2 Hnd u^2+2 u d Hnd u+Hn=2 epsilon Hn
Escrevendo
Hn(u)=sumr=0, r^n ar u^r
com a0=1, ou
Hn(u)=sumr=1, r^n a impar u^r
com a1=1, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia epsilon, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta, u^n. Mostre que o coeficiente de u^n no lado esquerdo de (9) será igual a
2 n an+an
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de u^n será igual a 2 epsilon an. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
2 epsilon=2 n+1
ou seja
epsilon=n+1 / 2
Essa análise é valida tanto para n par quanto para n ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
En=hbar omega0(n+12), n=0,1,2,3, ldots
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por hbar omega0.
Considere o poço de potencial 1D de altura infinita e largura L. Obtenha seus auto-estados, suas energias e determine a constante de normalização para cada auto-estado.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
a) f(x)=5 x-3, em a=-3.