Derive.
y=sen^2(e^sen^2(x)).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado da questão pede para derivar a função y=sen^2(e^sen^2(x)). O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo de derivadas, que faz parte da análise matemática. Para resolver isso, precisamos usar algumas regras básicas de derivação, como a regra da cadeia e a derivada do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra. No nosso caso, temos o e^sen^2(x) dentro do sen^2().
Para derivar y, precisamos aplicar a regra da cadeia duas vezes: uma vez para a função externa (o sen^2()) e outra para a função interna ( e^sen^2(x)).
Então, vamos definir:
  • u = e^sen^2(x).
    Assim, podemos reescrever y como y = sen^2(u).

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a x usando a regra da cadeia:
  1. A derivada de sen^2(u) em relação a u é:
    dydu = 2sen(u)cos(u)
    Aqui, estamos usando a derivada da função sen(x) que é cos(x), e aplicando a regra do produto.
  2. Depois, precisamos calcular dudx, ou seja, a derivada de u = e^sen^2(x) em relação a x. Para isso, usamos a regra da cadeia novamente:
    • A derivada de e^sen^2(x) em relação a sen^2(x) é e^sen^2(x).
    • Agora precisamos derivar sen^2(x) em relação a x, que é: ddxsen^2(x) = 2sen(x)cos(x)
      Portanto,
      dudx = e^sen^2(x) cdot 2sen(x)cos(x).
Agora juntamos tudo usando a regra da cadeia:
dydx = dydu cdot dudx = 2sen(u)cos(u) cdot e^sen^2(x) cdot 2sen(x)cos(x).
Lembrando que substituímos u de volta:
dydx = 2sen(e^sen^2(x))cos(e^sen^2(x)) cdot e^sen^2(x) cdot 2sen(x)cos(x).

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
dydx = 4sen(e^sen^2(x))cos(e^sen^2(x)) cdot e^sen^2(x) cdot sen(x)cos(x).

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