Considerando placas paralelas infinitas e estacionárias, utilize um volume de controle adequado e deduza expressões para perfil de velocidade, distribuição de cisalhamento, vazão em volume, vazão em volume como função da queda de pressão, velocidade média e ponto de velocidade média.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre escoamento entre placas paralelas infinitas e estacionárias, que faz parte da área de mecânica dos fluidos. A gente vai precisar usar conceitos de perfil de velocidade, distribuição de cisalhamento, e vazão. Vamos construir um volume de controle adequado para deduzir as expressões que a questão pede. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar duas placas planas e paralelas, separadas por uma distância , e um fluido incompressível está passando entre elas devido a uma diferença de pressão . Como as placas são infinitas e estão estacionárias, podemos considerar que o escoamento é unidimensional e estável.

Passo 3

Vamos usar a equação de Navier-Stokes para o escoamento laminar entre placas. Como o escoamento é unidimensional e somente na direção mu d^2 udy^2 = dPdx , a equação simplificada fica:
Aqui, é a viscosidade do fluido, é a velocidade na direção , e é a direção perpendicular às placas.

Passo 4

Integrando a equação diferencial uma vez em relação a mu dudy = dPdx y + C1 :
u(0) = 0 Rightarrow C1 = 0
Usando as condições de contorno de que a velocidade nas placas é zero (condição de não deslizamento):
mu dudy = dPdx y
Então, temos:

Passo 5

Integrando novamente para encontrar a expressão da velocidade:
u(y) = 12mu dPdx y^2 + C2
Novamente, usando a condição de que 0 = 12mu dPdx h^2 + C2 Rightarrow C2 = -12mu dPdx h^2 :
u(y) = 12mu dPdx (y^2 - h^2)
Então, a expressão final do perfil de velocidade é:

Passo 6

Agora, vamos determinar a distribuição de cisalhamento tau = mu dudy . A tensão de cisalhamento é dada por:
dudy = 1mu dPdx y
Derivando a expressão de tau = dPdx y :
Portanto,
Isso mostra que a tensão de cisalhamento varia linearmente com .

Passo 7

Para encontrar a vazão volumétrica Q = integral-h/2^h/2 u(y) , dy , integramos a velocidade Q = integral-h/2^h/2 12mu dPdx (y^2 - h^2) , dy ao longo da largura Q = 12mu dPdx ( y^33 - h^2 y ) g|-h/2^h/2 :
Q = h^312mu (-dPdx)
Substituindo :
Calculando a integral:
Após os cálculos, considerando a simetria, chegamos a:

Passo 8

A vazão volumétrica como função da queda de pressão Q = h^312mu De é dada pela relação encontrada:
Aqui, é o comprimento das placas na direção do fluxo.

Passo 9

A velocidade média baru = QA = h^212mu De é a vazão dividida pela área da seção transversal :

Passo 10

O ponto de velocidade média é o ponto onde a velocidade é igual à média . Pela simetria do perfil parabolico, esse ponto ocorre no centro entre as placas ( ).

Resposta

As expressões deduzidas são:
  • Perfil de Velocidade:
    u(y) = 12mu dPdx (y^2 - h^2)
  • Distribuição de Cisalhamento:
    tau = dPdx y
  • Vaz��o Volumétrica:
    Q = h^312mu De
  • Velocidade Média:
    baru = h^212mu De
  • Ponto de Velocidade Média: (centro entre as placas)

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