Considerando placas paralelas infinitas e estacionárias, utilize um volume de controle adequado e deduza expressões para perfil de velocidade, distribuição de cisalhamento, vazão em volume, vazão em volume como função da queda de pressão, velocidade média e ponto de velocidade média.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre escoamento entre placas paralelas infinitas e estacionárias, que faz parte da área de mecânica dos fluidos. A gente vai precisar usar conceitos de perfil de velocidade, distribuição de cisalhamento, e vazão. Vamos construir um volume de controle adequado para deduzir as expressões que a questão pede. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar duas placas planas e paralelas, separadas por uma distância , e um fluido incompressível está passando entre elas devido a uma diferença de pressão . Como as placas são infinitas e estão estacionárias, podemos considerar que o escoamento é unidimensional e estável.
Passo 3
Vamos usar a equação de Navier-Stokes para o escoamento laminar entre placas. Como o escoamento é unidimensional e somente na direção , a equação simplificada fica:
Aqui, é a viscosidade do fluido, é a velocidade na direção , e é a direção perpendicular às placas.
Passo 4
Integrando a equação diferencial uma vez em relação a :
Usando as condições de contorno de que a velocidade nas placas é zero (condição de não deslizamento):
Então, temos:
Passo 5
Integrando novamente para encontrar a expressão da velocidade:
Novamente, usando a condição de que :
Então, a expressão final do perfil de velocidade é:
Passo 6
Agora, vamos determinar a distribuição de cisalhamento . A tensão de cisalhamento é dada por:
Derivando a expressão de :
Portanto,
Isso mostra que a tensão de cisalhamento varia linearmente com .
Passo 7
Para encontrar a vazão volumétrica, integramos a velocidade ao longo da largura :
Substituindo :
Calculando a integral:
Após os cálculos, considerando a simetria, chegamos a:
Passo 8
A vazão volumétrica como função da queda de pressão Q = h^312mu De é dada pela relação encontrada:
Aqui, é o comprimento das placas na direção do fluxo.
Passo 9
A velocidade média baru = QA = h^212mu De é a vazão dividida pela área da seção transversal :
Passo 10
O ponto de velocidade média é o ponto onde a velocidade é igual à média . Pela simetria do perfil parabolico, esse ponto ocorre no centro entre as placas ().
Resposta
As expressões deduzidas são:
Perfil de Velocidade:
u(y) = 12mu dPdx (y^2 - h^2)
Distribuição de Cisalhamento:
tau = dPdx y
Vaz��o Volumétrica:
Q = h^312mu De
Velocidade Média:
baru = h^212mu De
Ponto de Velocidade Média: (centro entre as placas)