Uma partícula com diâmetro volumétrico equivalente 0,2 mm, densidade 2.500 kg / m^3 e esfericidade 0,6 cai livremente sob a gravidade em um fluido de densidade 1,0 kg / m^3 e viscosidade 2 times 10^-5 Pa s. Estime a velocidade terminal alcançada pela partícula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com diâmetro volumétrico de , densidade de e esfericidade de 0,6. Essa partícula está caindo livremente em um fluido que tem densidade de e viscosidade de . Queremos estimar qual é a velocidade terminal que essa partícula alcança. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças de gravidade e resistência do fluido (força de arrasto) que atuam sobre a partícula.

Passo 2

A velocidade terminal ocorre quando a força gravitacional que puxa a partícula para baixo é igual à força de arrasto que a resiste. Vamos calcular ambas as forças e igualá-las para encontrar a velocidade terminal. As principais fórmulas que vamos utilizar são:
  • Força gravitacional ( Fg = pi6 d^3 (rhop - rhof) g ):
    Fd = 3 pi eta d v
  • Força de arrasto ( ) para fluxo laminar (Lei de Stokes):
Aqui,
é o diâmetro da partícula,
é a densidade da partícula,
é a densidade do fluido,
é a viscosidade do fluido,
é a aceleração da gravidade ( ),
e é a velocidade terminal que queremos encontrar.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a força gravitacional ( Fg = pi6 d^3 (rhop - rhof) g ). Usando a fórmula:
d = 0,2 , mm = 0,2 times 10^-3 , m = 2 times 10^-4 , m
Precisamos converter o diâmetro de milímetros para metros:
Fg = pi6 (2 times 10^-4)^3 (2500 - 1) times 9,81
Agora, substituindo os valores:
Note que a diferença ( ) é aproximadamente , já que é muito pequeno comparado a .

Passo 4

Agora, vamos expressar a força de arrasto ( Fd = 3 pi eta d v ) em termos da velocidade pi6 d^3 (rhop - rhof) g = 3 pi eta d v :
16 d^2 (rhop - rhof) g = 3 eta v
Queremos que v = d^2 (rhop - rhof) g18 eta na velocidade terminal, então:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos agora substituir todos os valores na equação para encontrar v = (2 times 10^-4)^2 times 2500 times 9,8118 times 2 times 10^-5 :
(2 times 10^-4)^2 = 4 times 10^-8 , m^2
Calculando o numerador:
4 times 10^-8 times 2500 = 1 times 10^-4
1 times 10^-4 times 9,81 = 9,81 times 10^-4
18 times 2 times 10^-5 = 3,6 times 10^-4
Calculando o denominador:
v = 9,81 times 10^-43,6 times 10^-4 approx 2,725 , m/s
Agora, dividindo:

Resposta

A velocidade terminal alcançada pela partícula é aproximadamente .

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