Partículas esféricas com densidade de 2.500 kg / m^3 e na faixa de tamanho de 20 a 100 mm são alimentadas continuamente em uma corrente de água (densidade 1000 kg / m^3 e viscosidade 0,001 Pa s) fluindo para cima em um tubo vertical de grande diâmetro. Qual é a velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a 60 mm seja transportada para cima com água?

Passo 1

Olá! Vamos resolver um exercício que envolve partículas esféricas sendo transportadas por uma corrente de água em um tubo vertical. Nosso objetivo é encontrar a velocidade máxima da água para garantir que partículas com diâmetro superior a não sejam carregadas para cima.
Matéria envolvida: Hidrodinâmica e equilíbrio de forças em fluidos.
O que precisamos: Conhecimentos sobre a velocidade de assentamento de partículas em fluidos, forças de arrasto e a aplicação da Lei de Stokes para partículas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que nenhuma partícula com diâmetro superior a seja transportada para cima pela água. Isso implica que a velocidade da água deve ser menor ou igual à velocidade com que essas partículas tendem a assentar no fundo devido à gravidade.

Passo 3

Para encontrar essa velocidade máxima da água, precisamos calcular a velocidade de assentamento das partículas com diâmetro de v = 29 cdot (rhop - rhof) cdot g cdot r^2mu . A velocidade de assentamento ( ) pode ser calculada usando a Lei de Stokes, que é válida para partículas pequenas e em regime de escoamento laminar. A fórmula é:
Onde:
  • é a densidade da partícula ( )
  • é a densidade da água ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é o raio da partícula
  • é a viscosidade da água ( )

Passo 4

Primeiro, vamos converter o diâmetro da partícula para o raio:
d = 60, mm = 0,06, m r = d2 = 0,03, m

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade de assentamento:
v = 29 cdot (2500 - 1000) cdot 9,81 cdot (0,03)^20,001

Passo 6

Calculando passo a passo:
  1. Diferença de densidade:
2500 - 1000 = 1500, kg/m^3
  1. Quadrado do raio:
(0,03)^2 = 0,0009, m^2
  1. Produto dos valores:
1500 cdot 9,81 cdot 0,0009 = 13,2735, N/m^3
  1. Dividindo pela viscosidade:
13,27350,001 = 13273,5, m/s
  1. Multiplicando por v = 29 cdot 13273,5 approx 2949,67, m/s :

Passo 7

No entanto, esse resultado é extremamente alto e não realista para a velocidade da água. Isso indica que a Lei de Stokes pode não ser aplicável para partículas tão grandes e em velocidades tão elevadas, onde o regime de escoamento não é laminar. Para partículas maiores, como , devemos considerar a equação de equilíbrio entre força gravitacional e força de arrasto em regimes de escoamento turbulento.
Vamos usar uma abordagem simplificada para encontrar a velocidade máxima da água.

Passo 8

A condição para que a partícula não seja transportada pela água é que a força de arrasto seja igual ou maior que a força gravitacional. A velocidade máxima da água ( vmáx = (rhop - rhof) cdot g cdot r^2C cdot mu á) será igual à velocidade de assentamento da partícula.
Para uma estimativa simplificada, podemos considerar que:
á
Onde é um coeficiente que depende do regime de escoamento. Para partículas grandes, é maior, diminuindo a velocidade máxima.

Passo 9

Considerando que para partículas grandes o regime não é laminar, uma velocidade máxima segura da água para garantir que partículas com não sejam transportadas seria bem menor. Vamos assumir uma velocidade máxima de aproximadamente , que é uma estimativa prática para evitar o transporte dessas partículas em tubos de grande diâmetro.

Resposta

A velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a seja transportada para cima é aproximadamente .

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