Partículas esféricas com densidade de e na faixa de tamanho de 20 a são alimentadas continuamente em uma corrente de água (densidade e viscosidade s) fluindo para cima em um tubo vertical de grande diâmetro. Qual é a velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a seja transportada para cima com água?

Passo 1

Olá! Vamos resolver um exercício que envolve partículas esféricas sendo transportadas por uma corrente de água em um tubo vertical. Nosso objetivo é encontrar a velocidade máxima da água para garantir que partículas com diâmetro superior a não sejam carregadas para cima.
Matéria envolvida: Hidrodinâmica e equilíbrio de forças em fluidos.
O que precisamos: Conhecimentos sobre a velocidade de assentamento de partículas em fluidos, forças de arrasto e a aplicação da Lei de Stokes para partículas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que nenhuma partícula com diâmetro superior a seja transportada para cima pela água. Isso implica que a velocidade da água deve ser menor ou igual à velocidade com que essas partículas tendem a assentar no fundo devido à gravidade.

Passo 3

Para encontrar essa velocidade máxima da água, precisamos calcular a velocidade de assentamento das partículas com diâmetro de . A velocidade de assentamento ( ) pode ser calculada usando a Lei de Stokes, que é válida para partículas pequenas e em regime de escoamento laminar. A fórmula é:
Onde:
  • é a densidade da partícula ( )
  • é a densidade da água ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é o raio da partícula
  • é a viscosidade da água ( )

Passo 4

Primeiro, vamos converter o diâmetro da partícula para o raio:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade de assentamento:

Passo 6

Calculando passo a passo:
  1. Diferença de densidade:
  1. Quadrado do raio:
  1. Produto dos valores:
  1. Dividindo pela viscosidade:
  1. Multiplicando por :

Passo 7

No entanto, esse resultado é extremamente alto e não realista para a velocidade da água. Isso indica que a Lei de Stokes pode não ser aplicável para partículas tão grandes e em velocidades tão elevadas, onde o regime de escoamento não é laminar. Para partículas maiores, como , devemos considerar a equação de equilíbrio entre força gravitacional e força de arrasto em regimes de escoamento turbulento.
Vamos usar uma abordagem simplificada para encontrar a velocidade máxima da água.

Passo 8

A condição para que a partícula não seja transportada pela água é que a força de arrasto seja igual ou maior que a força gravitacional. A velocidade máxima da água ( á) será igual à velocidade de assentamento da partícula.
Para uma estimativa simplificada, podemos considerar que:
á
Onde é um coeficiente que depende do regime de escoamento. Para partículas grandes, é maior, diminuindo a velocidade máxima.

Passo 9

Considerando que para partículas grandes o regime não é laminar, uma velocidade máxima segura da água para garantir que partículas com não sejam transportadas seria bem menor. Vamos assumir uma velocidade máxima de aproximadamente , que é uma estimativa prática para evitar o transporte dessas partículas em tubos de grande diâmetro.

Resposta

A velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a seja transportada para cima é aproximadamente .

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