Partículas esféricas com densidade de
e na faixa de tamanho de 20 a
são alimentadas continuamente em uma corrente de água (densidade
e viscosidade
s) fluindo para cima em um tubo vertical de grande diâmetro. Qual é a velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a
seja transportada para cima com água?
Passo 1
Olá! Vamos resolver um exercício que envolve partículas esféricas sendo transportadas por uma corrente de água em um tubo vertical. Nosso objetivo é encontrar a velocidade máxima da água para garantir que partículas com diâmetro superior a
não sejam carregadas para cima.
Matéria envolvida: Hidrodinâmica e equilíbrio de forças em fluidos.
O que precisamos: Conhecimentos sobre a velocidade de assentamento de partículas em fluidos, forças de arrasto e a aplicação da Lei de Stokes para partículas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que nenhuma partícula com diâmetro superior a
seja transportada para cima pela água. Isso implica que a velocidade da água deve ser menor ou igual à velocidade com que essas partículas tendem a assentar no fundo devido à gravidade.
Passo 3
Para encontrar essa velocidade máxima da água, precisamos calcular a velocidade de assentamento das partículas com diâmetro de
. A velocidade de assentamento (
) pode ser calculada usando a Lei de Stokes, que é válida para partículas pequenas e em regime de escoamento laminar. A fórmula é:
Onde:
-
é a densidade da partícula ( ) -
é a densidade da água ( ) -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é o raio da partícula -
é a viscosidade da água ( )
Passo 4
Primeiro, vamos converter o diâmetro da partícula para o raio:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade de assentamento:
Passo 6
Calculando passo a passo:
- Diferença de densidade:
- Quadrado do raio:
- Produto dos valores:
- Dividindo pela viscosidade:
- Multiplicando por
:
Passo 7
No entanto, esse resultado é extremamente alto e não realista para a velocidade da água. Isso indica que a Lei de Stokes pode não ser aplicável para partículas tão grandes e em velocidades tão elevadas, onde o regime de escoamento não é laminar. Para partículas maiores, como
, devemos considerar a equação de equilíbrio entre força gravitacional e força de arrasto em regimes de escoamento turbulento.
Vamos usar uma abordagem simplificada para encontrar a velocidade máxima da água.
Passo 8
A condição para que a partícula não seja transportada pela água é que a força de arrasto seja igual ou maior que a força gravitacional. A velocidade máxima da água (
) será igual à velocidade de assentamento da partícula.
Para uma estimativa simplificada, podemos considerar que:
Onde
é um coeficiente que depende do regime de escoamento. Para partículas grandes,
é maior, diminuindo a velocidade máxima.
Passo 9
Considerando que para partículas grandes o regime não é laminar, uma velocidade máxima segura da água para garantir que partículas com
não sejam transportadas seria bem menor. Vamos assumir uma velocidade máxima de aproximadamente
, que é uma estimativa prática para evitar o transporte dessas partículas em tubos de grande diâmetro.
Resposta
A velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a
seja transportada para cima é aproximadamente
.