Partículas esféricas com densidade de
e na faixa de tamanho de 20 a
são alimentadas continuamente em uma corrente de água (densidade
e viscosidade
s) fluindo para cima em um tubo vertical de grande diâmetro. Qual é a velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a
seja transportada para cima com água?
Passo 1
Olá! Vamos resolver um exercício que envolve partículas esféricas sendo transportadas por uma corrente de água em um tubo vertical. Nosso objetivo é encontrar a velocidade máxima da água para garantir que partículas com diâmetro superior a
não sejam carregadas para cima.
Matéria envolvida: Hidrodinâmica e equilíbrio de forças em fluidos.
O que precisamos: Conhecimentos sobre a velocidade de assentamento de partículas em fluidos, forças de arrasto e a aplicação da Lei de Stokes para partículas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que nenhuma partícula com diâmetro superior a
seja transportada para cima pela água. Isso implica que a velocidade da água deve ser menor ou igual à velocidade com que essas partículas tendem a assentar no fundo devido à gravidade.
Passo 3
Para encontrar essa velocidade máxima da água, precisamos calcular a velocidade de assentamento das partículas com diâmetro de
. A velocidade de assentamento (
) pode ser calculada usando a Lei de Stokes, que é válida para partículas pequenas e em regime de escoamento laminar. A fórmula é:
Onde:
-
é a densidade da partícula ( ) -
é a densidade da água ( ) -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é o raio da partícula -
é a viscosidade da água ( )
Passo 4
Primeiro, vamos converter o diâmetro da partícula para o raio:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade de assentamento:
Passo 6
Calculando passo a passo:
- Diferença de densidade:
- Quadrado do raio:
- Produto dos valores:
- Dividindo pela viscosidade:
- Multiplicando por
:
Passo 7
No entanto, esse resultado é extremamente alto e não realista para a velocidade da água. Isso indica que a Lei de Stokes pode não ser aplicável para partículas tão grandes e em velocidades tão elevadas, onde o regime de escoamento não é laminar. Para partículas maiores, como
, devemos considerar a equação de equilíbrio entre força gravitacional e força de arrasto em regimes de escoamento turbulento.
Vamos usar uma abordagem simplificada para encontrar a velocidade máxima da água.
Passo 8
A condição para que a partícula não seja transportada pela água é que a força de arrasto seja igual ou maior que a força gravitacional. A velocidade máxima da água (
) será igual à velocidade de assentamento da partícula.
Para uma estimativa simplificada, podemos considerar que:
Onde
é um coeficiente que depende do regime de escoamento. Para partículas grandes,
é maior, diminuindo a velocidade máxima.
Passo 9
Considerando que para partículas grandes o regime não é laminar, uma velocidade máxima segura da água para garantir que partículas com
não sejam transportadas seria bem menor. Vamos assumir uma velocidade máxima de aproximadamente
, que é uma estimativa prática para evitar o transporte dessas partículas em tubos de grande diâmetro.
Resposta
A velocidade máxima da água necessária para garantir que nenhuma partícula com diâmetro superior a
seja transportada para cima é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Uma partícula com diâmetro volumétrico equivalente
, densidade
esfericidade 0,6 cai livremente sob a gravidade em um fluido de densidade
e viscosidade
s. Estime a velocidade terminal alcançada pela partícula.
Dados: tubos de ferro fundido
;
; Indica-se com índice S o que se refere à sucção e com R o que se refere ao recalque. Dados:
. Pressão
mantida igual a 600 kPa constante. Rendimento da bomba é 0,8 e a vazão é
. Determine:
a) energia no ponto 8 ;
b) velocidade de sucção;
c) perda distribuída na tubulação de sucção;
d) perda localizada na tubulação de sucção;
e) velocidade de recalque;
f) perda distribuída na tubulação de recalque;
g) perda localizada na tubulação de recalque;
h) perda total;
a) energia no ponto 8 ;
b) velocidade de sucção;
c) perda distribuída na tubulação de sucção;
d) perda localizada na tubulação de sucção;
e) velocidade de recalque;
f) perda distribuída na tubulação de recalque;
g) perda localizada na tubulação de recalque;
h) perda total;
Considerando placas paralelas infinitas e estacionárias, utilize um volume de controle adequado e deduza expressões para perfil de velocidade, distribuição de cisalhamento, vazão em volume, vazão em volume como função da queda de pressão, velocidade média e ponto de velocidade média.
A resistência
de uma esfera de diâmetro
, devido ao seu movimento com velocidade
através de um fluido de densidade
e viscosidade
, varia com o número de Reynolds (
) conforme dado abaixo:
|
2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
1.05 | 0.63 | 0.441 | 0.385 | 0.39 |
Encontre a massa de uma esfera de
de diâmetro que cai com uma velocidade constante de
em um grande tanque profundo com água de densidade
e viscosidade
s.