A resistência de uma esfera de diâmetro , devido ao seu movimento com velocidade através de um fluido de densidade e viscosidade , varia com o número de Reynolds ( ) conforme dado abaixo:
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
1.05 0.63 0.441 0.385 0.39
Encontre a massa de uma esfera de de diâmetro que cai com uma velocidade constante de em um grande tanque profundo com água de densidade e viscosidade s.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício passo a passo! A gente precisa encontrar a massa de uma esfera com diâmetro de 0,013 metros que está caindo a uma velocidade constante de 0,6 m/s em água. Para isso, vamos usar conceitos de resistência de fluidos e o número de Reynolds. Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds, depois encontrar o coeficiente de arrasto na tabela fornecida e, por fim, usar a equação de equilíbrio de forças para descobrir a massa da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds (Re). O número de Reynolds nos ajuda a entender o fluxo do fluido ao redor da esfera e é dado pela fórmula:
Onde:
  • m (diâmetro da esfera)
  • m/s (velocidade)
  • kg/m³ (densidade da água)
  • Pa·s (viscosidade da água)
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o número de Reynolds é 5200.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente de arrasto ( ) usando a tabela fornecida. Primeiro, calculamos o logaritmo de base 10 do número de Reynolds:
Na tabela, temos valores de para de 3,5 e 4,0:
  • Para ,
  • Para ,
Como 3,716 está entre 3,5 e 4,0, fazemos uma interpolação linear para encontrar :
Então, o coeficiente de arrasto é aproximadamente 0,387.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de equilíbrio de forças. Quando a esfera está caindo a velocidade constante, a força de arrasto ( ) é igual ao peso da esfera ( ):
A força de arrasto é dada por:
Onde é a área da seção transversal da esfera:
Calculando :
Agora, substituímos os valores na equação da força de arrasto:
Como , podemos resolver para :

Resposta

A massa da esfera é aproximadamente 0,000944 kg (ou 0,944 gramas).

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