A resistência F de uma esfera de diâmetro x, devido ao seu movimento com velocidade u através de um fluido de densidade rho e viscosidade mu, varia com o número de Reynolds ( R e=x u rhomu ) conforme dado abaixo:
log 10 R e 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
CD=F12 rho u^2(pi x^2 / 4) 1.05 0.63 0.441 0.385 0.39
Encontre a massa de uma esfera de 0,013 m de diâmetro que cai com uma velocidade constante de 0,6 m / s em um grande tanque profundo com água de densidade 1000 kg / m^3 e viscosidade 0,0015 Pa s.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício passo a passo! A gente precisa encontrar a massa de uma esfera com diâmetro de 0,013 metros que está caindo a uma velocidade constante de 0,6 m/s em água. Para isso, vamos usar conceitos de resistência de fluidos e o número de Reynolds. Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds, depois encontrar o coeficiente de arrasto na tabela fornecida e, por fim, usar a equação de equilíbrio de forças para descobrir a massa da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds (Re). O número de Reynolds nos ajuda a entender o fluxo do fluido ao redor da esfera e é dado pela fórmula:
Re = x cdot u cdot rhomu
Onde:
  • Re = 0,013 times 0,6 times 10000,0015 = 7,80,0015 = 5200 m (diâmetro da esfera)
  • m/s (velocidade)
  • kg/m³ (densidade da água)
  • Pa·s (viscosidade da água)
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o número de Reynolds é 5200.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente de arrasto ( log10(Re) = log10(5200) approx 3,716 ) usando a tabela fornecida. Primeiro, calculamos o logaritmo de base 10 do número de Reynolds:
CD = 0,385 + ( 3,716 - 3,54,0 - 3,5 ) times (0,39 - 0,385)
Na tabela, temos valores de CD = 0,385 + ( 0,2160,5 ) times 0,005 para CD = 0,385 + 0,432 times 0,005 = 0,385 + 0,00216 approx 0,387 de 3,5 e 4,0:
  • Para ,
  • Para ,
Como 3,716 está entre 3,5 e 4,0, fazemos uma interpolação linear para encontrar :
Então, o coeficiente de arrasto é aproximadamente 0,387.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de equilíbrio de forças. Quando a esfera está caindo a velocidade constante, a força de arrasto ( F = mg ) é igual ao peso da esfera ( F = 12 rho u^2 A CD ):
A = pi x^24
A força de arrasto é dada por:
A = pi times (0,013)^24 approx 3,1416 times 0,0001694 approx 0,000133 , m^2
Onde F = 12 times 1000 times (0,6)^2 times 0,000133 times 0,387 é a área da seção transversal da esfera:
F = 0,5 times 1000 times 0,36 times 0,000133 times 0,387 approx 0,00925 , N
Calculando m = Fg = 0,009259,81 approx 0,000944 , kg :
Agora, substituímos os valores na equação da força de arrasto:
Como , podemos resolver para :

Resposta

A massa da esfera é aproximadamente 0,000944 kg (ou 0,944 gramas).

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