Uma partícula esférica de densidade 1500 kg / m^3 tem uma velocidade terminal de 1 cm / s em um fluido de densidade 800 kg / m 3 e viscosidade 0,001 Pa s. Estime o diâmetro da partícula.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma partícula esférica com densidade de que está se movendo a uma velocidade terminal de em um fluido que tem densidade de e viscosidade de . Nosso objetivo é estimar o diâmetro dessa partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força de arrasto, força gravitacional, e força de Flutuabilidade. Vamos também aplicar a Lei de Stokes, que é usada para calcular a velocidade de partículas em fluxo viscoso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
  • Velocidade terminal:

Passo 3

Sabemos que, na velocidade terminal, a força gravitacional que puxa a partícula para baixo é equilibrada pela força de arrasto que a impede de acelerar mais. Além disso, a força de empuxo (devido à flutuabilidade) também atua contra a força gravitacional.
A força gravitacional Fg = 43 pi r^3 rhop g é dada por:
Fe = 43 pi r^3 rhof g
Onde:
  • Fd = 6 pi eta r vt é o raio da partícula,
  • é a densidade da partícula,
  • é a aceleração da gravidade ( ).
A força de empuxo é:
Onde é a densidade do fluido.
A força de arrasto segundo a Lei de Stokes é:
Onde:
  • é a viscosidade do fluido,
  • é a velocidade terminal.

Passo 4

No equilíbrio de forças, a força líquida gravitacional é igual à força de arrasto:
Fg - Fe = Fd
Substituindo as fórmulas:
43 pi r^3 (rhop - rhof) g = 6 pi eta r vt

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para encontrar o raio 43 r^3 (rhop - rhof) g = 6 eta r vt :
43 r^2 (rhop - rhof) g = 6 eta vt
Dividindo ambos os lados por r^2 = 6 eta vt43 (rhop - rhof) g :
r^2 = 6 eta vt times 34 (rhop - rhof) g = 18 eta vt4 (rhop - rhof) g = 9 eta vt2 (rhop - rhof) g
Agora, isolamos r = raiz9 eta vt2 (rhop - rhof) g :
Simplificando:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação para encontrar r = raiz9 times 0,001 , Pa cdot s times 0,01 , m/s2 times (1500 - 800) , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 :
2 times 700 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 = 2 times 700 times 9,81 = 13734 , kg/(m cdot s^2)
Calculando o denominador primeiro:
9 times 0,001 times 0,01 = 0,00009 , Pa cdot s cdot m/s = 0,00009 , kg/(m cdot s^2)
Agora, o numerador:
r = raiz0,0000913734 approx raiz6,55 times 10^-9 approx 8,09 times 10^-5 , m
Então:

Passo 7

Agora que temos o raio, podemos encontrar o diâmetro d = 2r = 2 times 8,09 times 10^-5 , m = 1,618 times 10^-4 , m = 0,1618 , mm :

Resposta

O diâmetro da partícula é aproximadamente .

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