Considerando que o ponto
tem a coordenada
,
e
determine:
c) (1,0 pt) Assumindo que a viga tem
, determine o máximo comprimento, em metros, de viga para que a deflexão máxima não exceda a 2 mm .
c) (1,0 pt) Assumindo que a viga tem
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma viga com as seguintes características:
- Momento inicial $ \mathrm{M}_0 = 500 \mathrm{kNm} $
- Comprimento $ \mathrm{L} = 2 \mathrm{~m} $
- Momento de inércia $ \mathrm{I}_2 = 556 \times 10^{-6} \mathrm{~m^4} $
- Módulo de elasticidade $ E = 200 \mathrm{GPa} $
Queremos descobrir qual é o comprimento máximo que essa viga pode ter para que a deflexão máxima não passe de 2 mm. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais relacionados à deflexão de vigas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que calcula a deflexão máxima ($ \delta_{max} $) de uma viga sujeita a um momento fletor. A fórmula é:
Onde:
- $ M $ é o momento fletor.
- $ L $ é o comprimento da viga.
- $ E $ é o módulo de elasticidade.
- $ I $ é o momento de inércia.
Passo 3
Queremos que essa deflexão máxima seja no máximo 2 mm. Vamos converter isso para metros para facilitar os cálculos:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula da deflexão e resolver para $ L $:
Nota: Converti $ M_0 $ para N·m porque $ 1 \mathrm{kNm} = 10^{3} \mathrm{N \cdot m} $.
Passo 5
Vamos isolar $ L^2 $ na equação:
Passo 6
Agora, vamos calcular passo a passo:
Simplificando:
Passo 7
Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ L $:
Resposta
O comprimento máximo da viga deve ser aproximadamente $ 29,83 $ metros para que a deflexão máxima não exceda 2 mm.