Considerando que o ponto A tem a coordenada x=0, M0=500 kNm e L=2 m determine:
c) (1,0 pt) Assumindo que a viga tem I2=556.10^-6 m^4, E=200 GPa, determine o máximo comprimento, em metros, de viga para que a deflexão máxima não exceda a 2 mm .

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma viga com as seguintes características:
  • Momento inicial $ \mathrm{M}_0 = 500 \mathrm{kNm} $
  • Comprimento $ \mathrm{L} = 2 \mathrm{~m} $
  • Momento de inércia $ \mathrm{I}_2 = 556 \times 10^{-6} \mathrm{~m^4} $
  • Módulo de elasticidade $ E = 200 \mathrm{GPa} $
Queremos descobrir qual é o comprimento máximo que essa viga pode ter para que a deflexão máxima não passe de 2 mm. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais relacionados à deflexão de vigas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que calcula a deflexão máxima ($ \delta_{max} $) de uma viga sujeita a um momento fletor. A fórmula é:
de
Onde:
  • $ M $ é o momento fletor.
  • $ L $ é o comprimento da viga.
  • $ E $ é o módulo de elasticidade.
  • $ I $ é o momento de inércia.

Passo 3

Queremos que essa deflexão máxima seja no máximo 2 mm. Vamos converter isso para metros para facilitar os cálculos:
2 mm = 0,002 m
Então, temos:
de

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula da deflexão e resolver para $ L $:
L
Nota: Converti $ M_0 $ para N·m porque $ 1 \mathrm{kNm} = 10^{3} \mathrm{N \cdot m} $.

Passo 5

Vamos isolar $ L^2 $ na equação:
L^2

Passo 6

Agora, vamos calcular passo a passo:
L^2 = 0,002 cdot 2 cdot 200 times 10^9 cdot 556 times 10^-6500 times 10^3 = 0,002 cdot 2 cdot 200 cdot 556 cdot 10^3500
Simplificando:
0,002 cdot 2 = 0,004
0,004 cdot 200 = 0,8
0,8 cdot 556 = 444,8
444,8 cdot 10^3 = 444800
L^2 = 444800500 = 889,6

Passo 7

Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ L $:
L

Resposta

O comprimento máximo da viga deve ser aproximadamente $ 29,83 $ metros para que a deflexão máxima não exceda 2 mm.

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