A deformação em um ponto tem componentes
l A deformação em um ponto tem componentes varepsilonx=-480(10^-6) M P a, varepsilony=-650(10^-6) M P a, Upsilonx y= 780(10^-6) M P a e epsilonz=0 çã
Determine:
(a) as deformações principais,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as componentes de deformação em um ponto específico e pede para determinar as deformações principais. Para resolver isso, a gente precisa entender um pouco sobre tensores de deformação e como encontrar seus valores principais. Basicamente, as deformações principais são aquelas deformações máximas e mínimas que ocorrem sem cisalhamento. Vamos precisar montar a matriz de deformação e encontrar seus valores próprios para achar essas deformações principais.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de deformação usando as componentes que o enunciado forneceu. A matriz de deformação varepsilon em 2D é dada por:
varepsilon = varepsilonx & gammaxy2 gammaxy2 & varepsilony
Substituindo os valores:
varepsilon = -480 times 10^-6 & 780 times 10^-62 780 times 10^-62 & -650 times 10^-6 = -480 times 10^-6 & 390 times 10^-6 390 times 10^-6 & -650 times 10^-6

Passo 3

Agora, para encontrar as deformações principais, precisamos encontrar os valores próprios (ou seja, os principais valores) dessa matriz de deformação. Isso envolve resolver a equação característica:
det(varepsilon - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:
-480 times 10^-6 - lambda & 390 times 10^-6 390 times 10^-6 & -650 times 10^-6 - lambda = 0
Expandindo o determinante:
(-480 times 10^-6 - lambda)(-650 times 10^-6 - lambda) - (390 times 10^-6)^2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para lambda.

Passo 5

Multiplicando os termos:
lambda^2 + (480 times 10^-6 + 650 times 10^-6)lambda + (480 times 10^-6)(650 times 10^-6) - (390 times 10^-6)^2 = 0
Simplificando:
lambda^2 + 1130 times 10^-6 lambda + (312000 times 10^-12 - 152100 times 10^-12) = 0
lambda^2 + 1130 times 10^-6 lambda + 159900 times 10^-12 = 0

Passo 6

Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 1
  • b = 1130 times 10^-6
  • c = 159900 times 10^-12
Calculando o discriminante:
De
De
Então:
lambda = -1130 times 10^-6 pm raiz0.6373 times 10^-62
Calculando:
raiz0.6373 times 10^-6 approx 0.7983 times 10^-3
lambda1 = -1130 times 10^-6 + 798.3 times 10^-62 = -331.7 times 10^-62 = -165.85 times 10^-6
lambda2 = -1130 times 10^-6 - 798.3 times 10^-62 = -1928.3 times 10^-62 = -964.15 times 10^-6

Resposta

As deformações principais são aproximadamente varepsilon1 = -165,85 times 10^-6 MPa e varepsilon2 = -964,15 times 10^-6 MPa.

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