Considerando 0 o potencial no infinito, calcule o potencial no centro de uma casca esférica de carga , raio e espessura uniformemente carregada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o potencial elétrico no centro de uma casca esférica carregada. A casca tem uma carga total , raio e espessura . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma casca esférica com uma certa espessura pode ser vista como uma combinação de infinitas camadas esféricas finas. Cada uma dessas camadas contribui com um pouco para o potencial total no centro. Vamos considerar a casca esférica como tendo um raio interno e um raio externo .

Passo 3

O potencial elétrico em um ponto devido a uma carga distribuída é dado pela integral do potencial devido a cada parte da carga. A expressão geral para o potencial elétrico devido a uma esfera de raio com carga é:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Como a carga está distribuída uniformemente na casca, a densidade de carga volumétrica é:

Passo 5

Agora, para encontrar o potencial no centro, vamos integrar de até :
Aqui, simplificamos no numerador e denominador, e cancelamos .

Passo 6

Calculando a integral:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do potencial:

Resposta

O potencial no centro da casca esférica é:

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