Considerando 0 o potencial no infinito, calcule o potencial no centro de uma casca esférica de carga
, raio
e espessura
uniformemente carregada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o potencial elétrico no centro de uma casca esférica carregada. A casca tem uma carga total
, raio
e espessura
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que uma casca esférica com uma certa espessura pode ser vista como uma combinação de infinitas camadas esféricas finas. Cada uma dessas camadas contribui com um pouco para o potencial total no centro. Vamos considerar a casca esférica como tendo um raio interno
e um raio externo
.
Passo 3
O potencial elétrico
em um ponto devido a uma carga distribuída é dado pela integral do potencial devido a cada parte da carga. A expressão geral para o potencial elétrico devido a uma esfera de raio
com carga
é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Como a carga está distribuída uniformemente na casca, a densidade de carga volumétrica
é:
Passo 5
Agora, para encontrar o potencial no centro, vamos integrar
de
até
:
Aqui, simplificamos
no numerador e denominador, e cancelamos
.
Passo 6
Calculando a integral:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do potencial:
Resposta
O potencial no centro da casca esférica é: