Considerando 0 o potencial no infinito, calcule o potencial no centro de uma casca esférica de carga Q, raio R e espessura R / 2 uniformemente carregada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o potencial elétrico no centro de uma casca esférica carregada. A casca tem uma carga total , raio e espessura . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma casca esférica com uma certa espessura pode ser vista como uma combinação de infinitas camadas esféricas finas. Cada uma dessas camadas contribui com um pouco para o potencial total no centro. Vamos considerar a casca esférica como tendo um raio interno e um raio externo .

Passo 3

O potencial elétrico dV = 14piepsilon0 cdot dqr em um ponto devido a uma carga distribuída é dado pela integral do potencial devido a cada parte da carga. A expressão geral para o potencial elétrico devido a uma esfera de raio com carga é:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Como a carga está distribuída uniformemente na casca, a densidade de carga volumétrica rho = QVolume da casca = Q43pi ( (3R2)^3 - R^3 ) = Q43pi ( 27R^38 - R^3 ) = Q43pi cdot 19R^38 = 6Q19pi R^3 é:

Passo 5

Agora, para encontrar o potencial no centro, vamos integrar V = integralR^3R2 14piepsilon0 cdot rho cdot 4pi r^2 drr = rhoepsilon0 integralR^3R2 r dr de até :
Aqui, simplificamos no numerador e denominador, e cancelamos .

Passo 6

Calculando a integral:
integralR^3R2 r dr = [ r^22 ]R^3R2 = 12 ( (3R2)^2 - R^2 ) = 12 ( 9R^24 - R^2 ) = 12 cdot 5R^24 = 5R^28

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do potencial:
V = rhoepsilon0 cdot 5R^28 = 6Q19pi R^3 epsilon0 cdot 5R^28 = 30Q152pi R epsilon0 = 15Q76pi R epsilon0

Resposta

O potencial no centro da casca esférica é:
V = 15Q76pi R epsilon0

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