Considerando o potencial onde e são constantes positivas, calcule o campo elétrico associado. (b) Encontre a força elétrica sobre uma partícula de carga q localizada nesse potencial a uma distância R da origem e a energia potencial desse sistema. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado pela função e precisa calcular o campo elétrico associado. Depois, vamos encontrar a força elétrica sobre uma carga localizada a uma distância da origem e também a energia potencial desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente as relações entre potencial elétrico, campo elétrico e força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Em coordenadas esféricas, onde o potencial depende apenas da distância , o gradiente se simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada do potencial em relação a :
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, já que é uma constante.
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Substituindo as derivadas de volta na expressão para :
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos o campo elétrico , podemos calcular a força elétrica sobre uma carga usando a relação:
Como o campo elétrico aponta radialmente, a força também estará na direção radial.

Passo 6

Substituindo na expressão da força:
Podemos deixar dessa forma ou fatorar os termos conforme preferir.

Passo 7

Por fim, a energia potencial do sistema é dada por:
Substituindo :

Resposta

O campo elétrico associado é:
A força elétrica sobre a carga a uma distância da origem é:
E a energia potencial desse sistema é:

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