Considerando o potencial onde
e
são constantes positivas, calcule o campo elétrico associado. (b) Encontre a força elétrica sobre uma partícula de carga q localizada nesse potencial a uma distância R da origem e a energia potencial desse sistema. ( 2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado pela função
e precisa calcular o campo elétrico associado. Depois, vamos encontrar a força elétrica sobre uma carga
localizada a uma distância
da origem e também a energia potencial desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente as relações entre potencial elétrico, campo elétrico e força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Em coordenadas esféricas, onde o potencial depende apenas da distância
, o gradiente se simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada do potencial
em relação a
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, já que é uma constante. - A derivada de
em relação a é .
Passo 4
Substituindo as derivadas de volta na expressão para
:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o campo elétrico
, podemos calcular a força elétrica
sobre uma carga
usando a relação:
Como o campo elétrico aponta radialmente, a força também estará na direção radial.
Passo 6
Substituindo
na expressão da força:
Podemos deixar dessa forma ou fatorar os termos conforme preferir.
Passo 7
Por fim, a energia potencial
do sistema é dada por:
Substituindo
:
Resposta
O campo elétrico associado é:
A força elétrica sobre a carga
a uma distância
da origem é:
E a energia potencial desse sistema é: