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Considerando o potencial
, onde
, a e
são constantes positivas, calcule o campo elétrico associado. (b) Encontre a força elétrica sobre uma partícula de carga q localizada nesse potencial a uma distância
da origem e a energia potencial desse sistema. ( 2,0 pontos)
Considerando o potencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado por
, onde
,
e
são constantes positivas. O que a gente precisa fazer aqui é:
- Calcular o campo elétrico associado a esse potencial.
- Encontrar a força elétrica sobre uma partícula de carga
localizada a uma distância da origem. - Determinar a energia potencial desse sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre potencial elétrico e campo elétrico, além das fórmulas para força e energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico
associado ao potencial
. A relação entre o campo elétrico e o potencial é dada por:
Como o potencial depende apenas da distância
, em coordenadas esféricas, a derivada se simplifica para:
Vamos então derivar
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Portanto, o campo elétrico é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a força elétrica
sobre uma partícula de carga
localizada a uma distância
da origem. A força elétrica é dada por:
Substituindo
que encontramos:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Por último, vamos calcular a energia potencial
desse sistema. A energia potencial elétrica associada a uma carga
em um potencial
é:
Substituindo
:
Resposta
A força elétrica sobre a partícula é
e a energia potencial do sistema é
.