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Considerando o potencial V(r)=A(a+r) 2+B r, onde A, a e B são constantes positivas, calcule o campo elétrico associado. (b) Encontre a força elétrica sobre uma partícula de carga q localizada nesse potencial a uma distância R da origem e a energia potencial desse sistema. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado por , onde , e são constantes positivas. O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Calcular o campo elétrico associado a esse potencial.
  2. Encontrar a força elétrica sobre uma partícula de carga localizada a uma distância da origem.
  3. Determinar a energia potencial desse sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre potencial elétrico e campo elétrico, além das fórmulas para força e energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico E(r) = -nabla V(r) associado ao potencial E(r) = -dVdr . A relação entre o campo elétrico e o potencial é dada por:
V(r) = A(a + r)^2 + B r
Como o potencial depende apenas da distância dVdr = 2A(a + r) + B , em coordenadas esféricas, a derivada se simplifica para:
E(r) = -[2A(a + r) + B]
Vamos então derivar em relação a :
Derivando termo a termo:
Portanto, o campo elétrico é:

Passo 3

Agora, vamos determinar a força elétrica F = q E(R) sobre uma partícula de carga F = q [-2A(a + R) - B] localizada a uma distância F = -q [2A(a + R) + B] da origem. A força elétrica é dada por:
Substituindo que encontramos:
Simplificando a expressão:

Passo 4

Por último, vamos calcular a energia potencial U = q V(R) desse sistema. A energia potencial elétrica associada a uma carga U = q [A(a + R)^2 + B R] em um potencial é:
Substituindo :

Resposta

A força elétrica sobre a partícula é e a energia potencial do sistema é .

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