Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
lim x 0 f(x)=-infty, lim x -infty f(x)=5, lim x infty f(x)=-5

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Precisamos esboçar o gráfico de uma função f que cumpra três condições específicas sobre suas limitações (ou limites). Esse exercício é sobre limites de funções, que é um tópico da análise matemática. Para resolver, vamos entender o que cada uma dessas limitações significa e como elas direcionam o formato do gráfico da função.

Passo 2

Vamos analisar cada uma das condições listadas no enunciado:
  1. lim x 0 f(x)=-infty: Isso quer dizer que, quando a gente se aproxima do zero a partir de qualquer lado (esquerdo ou direito), o valor da função f(x) vai para menos infinito. Então, a função deve cair drasticamente para baixo à medida que nos aproximamos de zero.
  2. lim x -infty f(x)=5: Aqui, quando x vai para menos infinito (ou seja, muito para a esquerda no gráfico), a função se aproxima do valor 5. Isso significa que, longe à esquerda, o gráfico deve se estabilizar em torno do valor 5.
  3. lim x infty f(x)=-5: Por fim, quando x vai para mais infinito (muito para a direita no gráfico), a função se aproxima do valor -5. Portanto, longe à direita, o gráfico deve se estabilizar em torno do valor -5.

Passo 3

Agora, precisamos pensar em uma função que possa se comportar assim. Uma boa ideia é usar uma função racional ou uma função que contenha termos que causem um comportamento de queda e crescimento nos lugares certos.
Vamos considerar uma função do tipo:
f(x) = 1x - 5
  • Quando x se aproxima de 0, f(x) se aproxima de -infty porque 1x vai para +infty, então, após subtrair 5, ele vai para -infty.
  • Quando x vai para -infty, 1x vai se aproximar de 0, assim f(x) se aproxima de -5.
  • Quando x vai para +infty, novamente 1x vai se aproximar de 0, resultando também que f(x) se aproxima de -5.

Resposta

Agora, para esboçar o gráfico, percebemos que terá um comportamento com uma queda dramática para -infty quando x se aproxima de 0, se estabiliza em torno de 5 (para -infty) e se aproxima de -5 (para +infty). A função que propus, f(x) = 1x - 5, é um bom exemplo que atende a todas as condições do exercício. Assim, você pode desenhar o gráfico seguindo essas orientações e características.

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