(a) Considerando o potencial V(r)=A(a+r)^2+Br, onde A, a e B são constantes positivas, calcule o campo elétrico associado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado por , onde , e são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico associado a esse potencial. Para isso, vamos precisar saber como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico E(r) = -dVdr através da seguinte relação:
No caso de simetria esférica, que parece ser o caso aqui já que depende apenas de , a equação simplifica para:
Então, basicamente, o campo elétrico é o negativo da derivada do potencial em relação à distância .

Passo 3

Vamos então calcular a derivada de V(r) = A(a + r)^2 + Br em relação a ddr(A(a + r)^2) = A cdot ddr((a + r)^-2) = A cdot (-2)(a + r)^-3 cdot 1 = -2A(a + r)^3 . Nosso potencial é:
ddr(Br) = B cdot ddr(r^-1) = B cdot (-1) r^-2 = -Br^2
Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivando :
Agora, derivando :

Passo 4

Agora que temos as derivadas individuais, somamos elas para obter a derivada total de dVdr = -2A(a + r)^3 - Br^2 :

Passo 5

Lembrando que o campo elétrico é o negativo dessa derivada, temos:
E(r) = -dVdr = 2A(a + r)^3 + Br^2

Resposta

O campo elétrico associado ao potencial E(r) = 2A(a + r)^3 + Br^2 é:

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