Considere uma esfera isolante de raio localizada dentro de uma casca esférica condutora neutra de raio interno e raio externo . A esfera isolante possui uma densidade de carga volumétrica , onde é uma constante. (a) Calcule o campo elétrico nas regiões e para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera isolante com raio que está dentro de uma casca esférica condutora neutra com raio interno e raio externo . A esfera isolante tem uma densidade de carga que varia com o raio, dada por , onde é uma constante. A gente precisa calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes: , , e . Para isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria específica como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo . Matematicamente, fica assim:
Isso significa que se a gente escolher uma superfície gaussiana adequada (no caso, esferas concêntricas com a distribuição de carga), dá pra simplificar muito o cálculo do campo elétrico .
Passo 3
Vamos começar analisando a primeira região: , ou seja, dentro da esfera isolante.
Aqui, a carga está distribuída de forma contínua na esfera isolante com densidade . Para encontrar a carga total dentro de um raio , integramos a densidade sobre o volume:
Agora, aplicando a Lei de Gauss, temos:
Isso nos dá o campo elétrico nessa região.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda região: , que fica entre a esfera isolante e a casca condutora.
Nessa região, a casca é neutra, então a única carga que contribui para o campo elétrico é a da esfera isolante. A carga total da esfera isolante é:
Usando a Lei de Gauss novamente, temos:
Então, o campo elétrico nessa região varia inversamente com o quadrado do raio.
Passo 5
Vamos para a terceira região: , que está dentro da casca condutora.
Sabemos que, no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Além disso, como a casca é neutra, não há carga líquida dentro dessa região que possa criar um campo elétrico. Portanto:
Passo 6
Por fim, a quarta região: , que está fora da casca condutora.
Aqui, a casca é neutra, então a única contribuição para o campo elétrico vem da esfera isolante. A carga total que influencia o campo elétrico é a mesma que calculamos antes:
Aplicando a Lei de Gauss:
O campo elétrico fora da casca também varia inversamente com o quadrado do raio.
Resposta
O campo elétrico nas diferentes regiões é dado por: