Considere uma esfera isolante de raio a localizada dentro de uma casca esférica condutora neutra de raio interno b e raio externo c. A esfera isolante possui uma densidade de carga volumétrica rho(r)=alpha r^2, onde alpha é uma constante. (a) Calcule o campo elétrico E(r) nas regiões r e para r>c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera isolante com raio que está dentro de uma casca esférica condutora neutra com raio interno e raio externo . A esfera isolante tem uma densidade de carga que varia com o raio, dada por , onde é uma constante. A gente precisa calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes: , , e . Para isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria específica como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 . Matematicamente, fica assim:
Isso significa que se a gente escolher uma superfície gaussiana adequada (no caso, esferas concêntricas com a distribuição de carga), dá pra simplificar muito o cálculo do campo elétrico .

Passo 3

Vamos começar analisando a primeira região: Q(r) = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^r alpha r'^2 cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi alpha integral0^r r'^4 dr' = 4pi alpha r^55 , ou seja, dentro da esfera isolante.
Aqui, a carga está distribuída de forma contínua na esfera isolante com densidade E(r) cdot 4pi r^2 = Q(r)varepsilon0 implies E(r) = alpha r^35 varepsilon0 . Para encontrar a carga total dentro de um raio , integramos a densidade sobre o volume:
Agora, aplicando a Lei de Gauss, temos:
Isso nos dá o campo elétrico nessa região.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda região: Qtotal = 4pi alpha a^55 , que fica entre a esfera isolante e a casca condutora.
Nessa região, a casca é neutra, então a única carga que contribui para o campo elétrico é a da esfera isolante. A carga total da esfera isolante é:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 implies E(r) = alpha a^55 varepsilon0 r^2
Usando a Lei de Gauss novamente, temos:
Então, o campo elétrico nessa região varia inversamente com o quadrado do raio.

Passo 5

Vamos para a terceira região: E(r) = 0 , que está dentro da casca condutora.
Sabemos que, no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Além disso, como a casca é neutra, não há carga líquida dentro dessa região que possa criar um campo elétrico. Portanto:

Passo 6

Por fim, a quarta região: Qtotal = 4pi alpha a^55 , que está fora da casca condutora.
Aqui, a casca é neutra, então a única contribuição para o campo elétrico vem da esfera isolante. A carga total que influencia o campo elétrico é a mesma que calculamos antes:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 implies E(r) = alpha a^55 varepsilon0 r^2
Aplicando a Lei de Gauss:
O campo elétrico fora da casca também varia inversamente com o quadrado do raio.

Resposta

O campo elétrico E(r) = alpha r^35 varepsilon0, & para r < a alpha a^55 varepsilon0 r^2, & para a < r < b 0, & para b < r < c alpha a^55 varepsilon0 r^2, & para r > c nas diferentes regiões é dado por:

Exercícios relacionados

O potencial de Lennard-Jones para a interação de dois átomos de Ar pode ser descrito como:
V=4 varepsilon[(r0r)^12-(r0r)^6]
onde varepsilon=1,66 times 10^-21 J e r0=342 pm.
a) Esboçe a forma deste potencial e descreva que tipo de força (repulsiva ou atrativa) cada termo do potencial acima está relacionado. Indique no seu esboço cada uma das contribuições.
e) Podemos estimar a energia térmica como sendo kB T, onde kB é a constante de Boltzmann e T é a temperatura do sistema em kelvins (K). Estime a energia térmica em temperatura ambiente (T=300 K). Você esperaria que a molécula de Ar2 fosse estável em temperatura ambiente?
(a) Considerando o potencial V(r)=A(a+r)^2+Br, onde A, a e B são constantes positivas, calcule o campo elétrico associado.
Um objeto executa um MHS com período de 0,900 s e amplitude igual a 0,320 m. Em t=0, o objeto está em x=0,320 m e instantaneamente em repouso. Calcule o tempo gasto para o objeto passar b) de x=0,160 m para x=0