Um objeto executa um MHS com período de 0,900 s e amplitude igual a 0,320 m. Em t=0, o objeto está em x=0,320 m e instantaneamente em repouso. Calcule o tempo gasto para o objeto passar b) de x=0,160 m para x=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um objeto que está se movendo em um Movimento Harmônico Simples (MHS) com um período de e uma amplitude de . No instante , o objeto está na posição máxima ( ) e parado. A pergunta é: quanto tempo o objeto leva para passar de até ? Para resolver isso, vamos precisar entender as equações do MHS e como calcular tempos específicos com base na posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral para a posição em um MHS:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial,
  • é o tempo.
Sabemos que:
  • ,
  • (período), então ,
  • No instante , e o objeto está em repouso, o que significa que .

Passo 3

Vamos calcular omega = 2piT = 2pi0,900 , s approx 6,981 , rad/s :
x(t) = 0,320 , m cdot cos(6,981 , t)
Agora, nossa equação fica:

Passo 4

Queremos saber o tempo que leva para o objeto ir de até . Isso significa que precisamos encontrar dois momentos no tempo:
  1. : quando ,
  2. : quando .
Então, o tempo gasto será .

Passo 5

Vamos encontrar 0,160 = 0,320 cdot cos(6,981 , t1) quando cos(6,981 , t1) = 0,5 :
6,981 , t1 = arccos(0,5) = pi3 , rad
Dividindo ambos os lados por t1 = pi3 cdot 6,981 approx 3,141620,943 approx 0,150 , s :
Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar 0 = 0,320 cdot cos(6,981 , t2) quando 6,981 , t2 = pi2 , rad :
t2 = pi2 cdot 6,981 approx 1,57086,981 approx 0,225 , s
Isso ocorre quando o cosseno é zero:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o tempo gasto para passar de De até :

Resposta

O tempo gasto para o objeto passar de até é de aproximadamente .

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