Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs,
a) Verifique que y1(t) = t^2 e y2(t) = t^(-1) são duas soluções da equação diferencial t^2 y'' - 2 y = 0 para t > 0. Mostre que c1 t^2 + c2 t^(-1) também é solução dessa equação quaisquer que sejam c1 e c2;
b) Verifique que y1(t) = 1 e y2(t) = raiz(t) são duas soluções da equação diferencial y y'' + (y')^2 = 0
para t > 0. Mostre que c1 + c2 * raiz(t) não é, em geral, solução dessa equação. Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do princípio da superposição em Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente vai precisar verificar se certas funções são soluções de EDOs específicas e depois ver como combinar essas soluções. Vamos resolver as partes a) e b) passo a passo.

Passo 2

Parte a)

Primeiro, vamos verificar se e são soluções da equação diferencial para .

Verificando :

  1. Calcular a primeira derivada :
  2. Calcular a segunda derivada :
  3. Substituir na equação diferencial: Viu só? Igualou a zero, então é solução.

Verificando :

  1. Calcular a primeira derivada :
  2. Calcular a segunda derivada :
  3. Substituir na equação diferencial: Também deu zero, então é solução.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que qualquer combinação linear dessas soluções, ou seja, , também é solução da equação diferencial.
  1. Definir
  2. Calcular a segunda derivada de :
  3. Substituir na equação diferencial: Que novamente resulta em zero. Portanto, é solução para qualquer valor de e .

Passo 4

Parte b)

Agora, vamos para a segunda parte. Temos que verificar se e são soluções da equação diferencial para . Depois, mostrar que não é, em geral, solução dessa equação.

Verificando :

  1. Calcular as derivadas:
  2. Substituir na equação diferencial: Então, é solução.

Verificando :

  1. Calcular as derivadas:
  2. Substituir na equação diferencial: Também deu zero, então é solução.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é solução da equação diferencial .
  1. Definir
  2. Calcular as derivadas:
  3. Substituir na equação diferencial: A não ser que ou , isso não será zero. Portanto, não é, em geral, solução da equação.

Passo 6

Por que isso não contradiz o princípio da superposição?

O princípio da superposição só vale para EDOs lineares homogêneas. A equação não é linear devido ao termo e . Por isso, mesmo tendo duas soluções, a combinação linear delas não necessariamente é solução. Então, não há contradição porque o princípio da superposição não se aplica nesse caso.

Resposta

Concluímos que na parte a) é solução da equação diferencial dada, e na parte b) não é, em geral, solução da equação diferencial considerada, sem contrapor o princípio da superposição.

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