Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs,
a) Verifique que
e
são duas soluções da equação diferencial
para
. Mostre que
também é solução dessa equação quaisquer que sejam
;
b) Verifique que
e
são duas soluções da equação diferencial
para
. Mostre que
não é, em geral, solução dessa equação. Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superposição.
a) Verifique que
b) Verifique que
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do princípio da superposição em Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente vai precisar verificar se certas funções são soluções de EDOs específicas e depois ver como combinar essas soluções. Vamos resolver as partes a) e b) passo a passo.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos verificar se
e
são soluções da equação diferencial
para
.
Verificando
:
- Calcular a primeira derivada
: - Calcular a segunda derivada
: - Substituir na equação diferencial:
Viu só? Igualou a zero, então é solução.
Verificando
:
- Calcular a primeira derivada
: - Calcular a segunda derivada
: - Substituir na equação diferencial:
Também deu zero, então é solução.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que qualquer combinação linear dessas soluções, ou seja,
, também é solução da equação diferencial.
- Definir
- Calcular a segunda derivada de
: - Substituir na equação diferencial:
Que novamente resulta em zero. Portanto, é solução para qualquer valor de e .
Passo 4
Parte b)
Agora, vamos para a segunda parte. Temos que verificar se
e
são soluções da equação diferencial
para
. Depois, mostrar que
não é, em geral, solução dessa equação.
Verificando
:
- Calcular as derivadas:
- Substituir na equação diferencial:
Então, é solução.
Verificando
:
- Calcular as derivadas:
- Substituir na equação diferencial:
Também deu zero, então é solução.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é solução da equação diferencial
.
- Definir
- Calcular as derivadas:
- Substituir na equação diferencial:
A não ser que ou , isso não será zero. Portanto, não é, em geral, solução da equação.
Passo 6
Por que isso não contradiz o princípio da superposição?
O princípio da superposição só vale para EDOs lineares homogêneas. A equação
não é linear devido ao termo
e
. Por isso, mesmo tendo duas soluções, a combinação linear delas não necessariamente é solução. Então, não há contradição porque o princípio da superposição não se aplica nesse caso.
Resposta
Concluímos que na parte a)
é solução da equação diferencial dada, e na parte b)
não é, em geral, solução da equação diferencial considerada, sem contrapor o princípio da superposição.