Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em :

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o Wronskiano de pares de funções e determinar se elas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo . Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear das funções.

Passo 2

Antes de mais nada, o Wronskiano de duas funções e é uma ferramenta que usamos para verificar se essas funções são linearmente independentes. Ele é definido pela seguinte matriz:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Caso contrário, elas são linearmente dependentes.
Vamos aplicar isso a cada par de funções fornecido.

Passo 3

(a)
Primeiro, calculamos as derivadas:
  • , então
  • , então usando a regra do produto:
Agora, o Wronskiano:
Como para todo , as funções são linearmente independentes.
(b)
Calculamos as derivadas:
  • , então
  • , aplicando a regra do produto:
Wronskiano:
Simplificando:
Usamos a identidade :
Como o Wronskiano é zero para todo , as funções são linearmente dependentes.
©
Derivadas:
  • ,
  • ,
Wronskiano:
Se , então para todo , logo são linearmente independentes. Se , o Wronskiano é zero e as funções são linearmente dependentes.
(d)
Derivadas:
  • ,
  • ,
Wronskiano:
Como é zero apenas em e diferente de zero em outros pontos, as funções são linearmente independentes no intervalo .
(e)
Derivadas:
  • ,
  • ,
Wronskiano:
Como para , as funções são linearmente independentes no intervalo .
(f)
Aqui, observamos que .
Logo, é um múltiplo constante de , ou seja, as funções são linearmente dependentes.

Resposta

(a) , linearmente independentes.
(b) , linearmente dependentes.
© :
  • Se , linearmente independentes.
  • Se , linearmente dependentes.
(d) , linearmente independentes.
(e) , linearmente independentes.
(f) , linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Considere as EDOs abaixo:
a) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando ?
b) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando ?
c) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando ?
d) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando ?
Considere os PVIs abaixo:
I)
II) .
a) Determine valor de para que a solução de se aproxime de zero quando ;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .
Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs,
a) Verifique que e são duas soluções da equação diferencial para . Mostre que também é solução dessa equação quaisquer que sejam ;
b) Verifique que e são duas soluções da equação diferencial
para . Mostre que não é, em geral, solução dessa equação. Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superposição.
Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
a)
b)
c) ,