Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em :
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o Wronskiano de pares de funções e determinar se elas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo . Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear das funções.
Passo 2
Antes de mais nada, o Wronskiano de duas funções e é uma ferramenta que usamos para verificar se essas funções são linearmente independentes. Ele é definido pela seguinte matriz:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Caso contrário, elas são linearmente dependentes.
Vamos aplicar isso a cada par de funções fornecido.
Passo 3
(a)
Primeiro, calculamos as derivadas:
, então
, então usando a regra do produto:
Agora, o Wronskiano:
Como para todo , as funções são linearmente independentes.
(b)
Calculamos as derivadas:
, então
, aplicando a regra do produto:
Wronskiano:
Simplificando:
Usamos a identidade :
Como o Wronskiano é zero para todo , as funções são linearmente dependentes.