Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
a)
b)
c) ,
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos pede para verificar se as funções e são soluções das equações diferenciais dadas e se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, precisamos entender o que são soluções de equações diferenciais e o que constitui um conjunto fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma solução de uma equação diferencial é uma função que, quando substituída na equação, satisfaz a igualdade. Além disso, um conjunto fundamental de soluções é um conjunto de soluções linearmente independentes que geram todas as soluções da equação diferencial.
Passo 3
Vamos começar com o item a):
as soluções propostas são:
Passo 4
Primeiro, verificamos se e são soluções da equação diferencial. Calculamos as derivadas:
Para :
Substituindo na equação:
Portanto, é uma solução.
Passo 5
Para :
Substituindo na equação:
Portanto, também é uma solução.
Passo 6
Agora, para verificar se e formam um conjunto fundamental, devemos verificar se elas são linearmente independentes. Calculamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.
Passo 7
Agora, vamos para o item b):
as soluções propostas são:
Passo 8
Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Portanto, é uma solução.
Passo 9
Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Portanto, também é uma solução.
Passo 10
Calculamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.
Passo 11
Por fim, o item c):
no intervalo , com soluções propostas:
Passo 12
Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Portanto, é uma solução.
Passo 13
Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Portanto, também é uma solução.
Passo 14
Calculamos o Wronskiano:
Para verificar se o Wronskiano é diferente de zero no intervalo , observamos que não é identicamente zero nesse intervalo, garantindo a linearidade das soluções.
Resposta
Em todos os casos a), b) e c), as funções e são soluções das respectivas equações diferenciais e constituem conjuntos fundamentais de soluções, pois são linearmente independentes.