Verifique que as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
a) y'' + 4y = 0 ; y1(t) = cos(2t) ; y2(t) = sen(2t)
b) y'' - 2y' + y = 0 ; y1(t) = e^t, y2(t) = t e^t
c) (1 - x cotg(x)) y'' - x y' + y = 0,
0 < x < pi, y1(x) = x, y2(x) = sen(x)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos pede para verificar se as funções e são soluções das equações diferenciais dadas e se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, precisamos entender o que são soluções de equações diferenciais e o que constitui um conjunto fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma solução de uma equação diferencial é uma função que, quando substituída na equação, satisfaz a igualdade. Além disso, um conjunto fundamental de soluções é um conjunto de soluções linearmente independentes que geram todas as soluções da equação diferencial.

Passo 3

Vamos começar com o item a):
as soluções propostas são:

Passo 4

Primeiro, verificamos se e são soluções da equação diferencial. Calculamos as derivadas:
Para :
Substituindo na equação:
Portanto, é uma solução.

Passo 5

Para :
Substituindo na equação:
Portanto, também é uma solução.

Passo 6

Agora, para verificar se e formam um conjunto fundamental, devemos verificar se elas são linearmente independentes. Calculamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.

Passo 7

Agora, vamos para o item b):
as soluções propostas são:

Passo 8

Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Portanto, é uma solução.

Passo 9

Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Portanto, também é uma solução.

Passo 10

Calculamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Passo 11

Por fim, o item c):
no intervalo , com soluções propostas:

Passo 12

Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Portanto, é uma solução.

Passo 13

Verificamos se é solução:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Portanto, também é uma solução.

Passo 14

Calculamos o Wronskiano:
Para verificar se o Wronskiano é diferente de zero no intervalo , observamos que não é identicamente zero nesse intervalo, garantindo a linearidade das soluções.

Resposta

Em todos os casos a), b) e c), as funções e são soluções das respectivas equações diferenciais e constituem conjuntos fundamentais de soluções, pois são linearmente independentes.

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