Considere os PVIs abaixo:
I)
,
II)
.
a) Para que valores de
a solução de
é sempre crescente?
b) Para que valores de
a solução de II é sempre positiva?
I)
II)
a) Para que valores de
b) Para que valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois problemas envolvendo equações diferenciais de segunda ordem. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais dessas equações e aplicar as condições iniciais dadas. Vamos começar pela parte a.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação I:
com as condições iniciais:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 6
Primeira condição:
Passo 7
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Primeiro, vamos calcular a derivada de
Avaliando em
:
Sabemos que
:
Passo 8
Então, a solução da equação é:
Agora, queremos que
seja sempre crescente. Isso significa que a derivada
deve ser sempre positiva.
Passo 9
Como já calculamos
:
Podemos factorizar
(que é sempre positivo):
Simplificando dentro do parêntese:
Para que
para todo
, precisamos que:
Isso deve ser verdadeiro para todo
, inclusive quando
tende ao infinito.
Passo 10
Olhemos o comportamento quando
aumenta:
- Se
, então o termo com será positivo e dominante, garantindo que para todo . - Se
, temos , que também é positivo. - Se
, o termo com tende a , fazendo com que eventualmente se torne negativo.
Portanto, para garantir que
seja sempre crescente, precisamos que:
Resposta
a) Para que a solução de I seja sempre crescente, é necessário que
.