Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
a) Para que valores de a solução de é sempre crescente?
b) Para que valores de a solução de II é sempre positiva?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois problemas envolvendo equações diferenciais de segunda ordem. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais dessas equações e aplicar as condições iniciais dadas. Vamos começar pela parte a.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação I:
com as condições iniciais:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 5

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 6

Primeira condição:

Passo 7

Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Avaliando em :
Sabemos que :

Passo 8

Então, a solução da equação é:
Agora, queremos que seja sempre crescente. Isso significa que a derivada deve ser sempre positiva.

Passo 9

Como já calculamos :
Podemos factorizar (que é sempre positivo):
Simplificando dentro do parêntese:
Para que para todo , precisamos que:
Isso deve ser verdadeiro para todo , inclusive quando tende ao infinito.

Passo 10

Olhemos o comportamento quando aumenta:
  • Se , então o termo com será positivo e dominante, garantindo que para todo .
  • Se , temos , que também é positivo.
  • Se , o termo com tende a , fazendo com que eventualmente se torne negativo.
Portanto, para garantir que seja sempre crescente, precisamos que:

Resposta

a) Para que a solução de I seja sempre crescente, é necessário que .

Exercícios relacionados

Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
a)
b)
c) ,
Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs,
a) Verifique que e são duas soluções da equação diferencial para . Mostre que também é solução dessa equação quaisquer que sejam ;
b) Verifique que e são duas soluções da equação diferencial
para . Mostre que não é, em geral, solução dessa equação. Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superposição.
Diferentemente dos problemas de valor inicial (PVI), nos quais são dados e , nos problemas de valor de contorno (PVC) são dados e , sendo . Para se resolver um PVC procedemos como no caso de um PVI: após encontrar a solução geral da EDO em termos de constantes arbitrárias e , utilizamos as condições dadas para determinar e . Considerando a EDO , reponda:
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos do plano ty podemos garantir a existência e unicidade de soluções?
b) Se tivermos as condições de contorno , , qual a solução do PVC associado à EDO dada?
c) Se tivermos as condições de contorno , , qual a solução do PVC associado à EDO dada?
d) Se tivermos as condições de contorno , , qual a solução do PVC associado à EDO dada?
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
Determine o valor máximo da função na curva da interseção do plano com o cilindro .