Considere os PVIs abaixo:
I) y'' - y' + 1/4 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = alpha,
II) 9 x'' + 12 x' + 4 x = 0, x(0) = beta > 0, x'(0) = -1.
a) Para que valores de alpha a solução de I é sempre crescente?
b) Para que valores de beta a solução de II é sempre positiva?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois problemas envolvendo equações diferenciais de segunda ordem. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais dessas equações e aplicar as condições iniciais dadas. Vamos começar pela parte a.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação I:
com as condições iniciais:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 5

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 6

Primeira condição:

Passo 7

Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Avaliando em :
Sabemos que :

Passo 8

Então, a solução da equação é:
Agora, queremos que seja sempre crescente. Isso significa que a derivada deve ser sempre positiva.

Passo 9

Como já calculamos :
Podemos factorizar (que é sempre positivo):
Simplificando dentro do parêntese:
Para que para todo , precisamos que:
Isso deve ser verdadeiro para todo , inclusive quando tende ao infinito.

Passo 10

Olhemos o comportamento quando aumenta:
  • Se , então o termo com será positivo e dominante, garantindo que para todo .
  • Se , temos , que também é positivo.
  • Se , o termo com tende a , fazendo com que eventualmente se torne negativo.
Portanto, para garantir que seja sempre crescente, precisamos que:

Resposta

a) Para que a solução de I seja sempre crescente, é necessário que .

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