Considere as EDOs abaixo:
& I) y^prime prime-(2 alpha-1) y^prime+alpha(alpha-1) y=0 & II) x^prime prime+(3-beta) x^prime-2(beta-1) x=0
a) Para quais valores de alpha podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando t infty ?
b) Para quais valores de alpha podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando t infty ?
c) Para quais valores de beta podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando t infty ?
d) Para quais valores de beta podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando t infty ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Temos duas EDOs de segunda ordem, e o que precisamos descobrir são os valores dos parâmetros α e β que fazem com que as soluções dessas equações se comportem de certas maneiras quando o tempo vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações características e análise das raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação I:
y'' - (2alpha - 1)y' + alpha(alpha - 1)y = 0
Para resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, buscamos soluções da forma r^2 - (2alpha - 1)r + alpha(alpha - 1) = 0 . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática em . As soluções dela, e , determinam o comportamento das soluções da EDO.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes:
r = (2alpha - 1) pm raiz(2alpha - 1)^2 - 4 cdot 1 cdot alpha(alpha - 1)2
Vamos simplificar o discriminante:
De
Então, , que é sempre positivo, o que significa que temos duas raízes reais distintas.

Passo 4

As raízes são:
r = 2alpha - 1 pm 12
Isso nos dá duas soluções:
r1 = alpha e r2 = alpha - 1
Então, as soluções gerais da EDO I são:
y(t) = C1 e^alpha t + C2 e^(alpha - 1) t

Passo 5

Agora, vamos analisar quando essas soluções se aproximam de zero quando alpha < 0 e alpha - 1 < 0 . Para que isso aconteça, ambos os expoentes devem ser negativos, ou seja:
A segunda desigualdade implica .

Passo 6

Para a parte (a), queremos todas as soluções se aproximarem de zero. Portanto, combinando as duas condições:
alpha < 0
Porque se , automaticamente também será verdadeiro.

Passo 7

Agora, para a parte (b), queremos que as soluções sejam ilimitadas, ou seja, que pelo menos uma das soluções cresça sem limites. Isso ocorre se pelo menos um dos expoentes for positivo. Portanto:
alpha > 0 ou alpha - 1 > 0 Rightarrow alpha > 1
Como já temos alpha > 0 ou , na verdade, isso se resume a:
Pois já está incluído em .

Passo 8

Agora, vamos analisar a EDO II:
x'' + (3 - beta)x' - 2(beta - 1)x = 0
Seguimos o mesmo procedimento: buscamos soluções da forma r^2 + (3 - beta)r - 2(beta - 1) = 0 e encontramos a equação característica:

Passo 9

Resolvendo a equação característica:
r = -(3 - beta) pm raiz(3 - beta)^2 + 8(beta - 1)2
Simplificando o discriminante:
De
Então, , sempre positivo, com duas raízes reais iguais.

Passo 10

As raízes são:
r = -(3 - beta) pm (beta + 1)2
Portanto:
r1 = -(3 - beta) + (beta + 1)2 = -3 + beta + beta + 12 = 2beta - 22 = beta - 1
r2 = -(3 - beta) - (beta + 1)2 = -3 + beta - beta - 12 = -42 = -2
Então, as soluções gerais da EDO II são:
x(t) = C1 e^(beta - 1) t + C2 e^-2 t

Passo 11

Para a parte ©, queremos que todas as soluções se aproximem de zero quando beta - 1 < 0 e -2 < 0 . Isso acontece se ambos os expoentes forem negativos:
beta - 1 < 0 Rightarrow beta < 1
A segunda condição já é sempre verdadeira, então basta:

Passo 12

Para a parte (d), queremos que as soluções sejam ilimitadas, ou seja, que pelo menos uma das soluções cresça sem limites. Isso ocorre se algum dos expoentes for positivo:
beta - 1 > 0
Portanto:
beta > 1

Resposta

a) Todas as soluções de I se aproximam de zero quando para .
b) Todas as soluções de I são ilimitadas quando para .
c) Todas as soluções de II se aproximam de zero quando para .
d) Todas as soluções de II são ilimitadas quando para .

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