Considere as EDOs abaixo:
a) Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando
?
b) Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?
c) Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando
?
d) Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?
b) Para quais valores de
c) Para quais valores de
d) Para quais valores de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Temos duas EDOs de segunda ordem, e o que precisamos descobrir são os valores dos parâmetros α e β que fazem com que as soluções dessas equações se comportem de certas maneiras quando o tempo
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações características e análise das raízes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação I:
Para resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, buscamos soluções da forma
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática em
. As soluções dela,
e
, determinam o comportamento das soluções da EDO.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes:
Vamos simplificar o discriminante:
Então,
, que é sempre positivo, o que significa que temos duas raízes reais distintas.
Passo 4
As raízes são:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as soluções gerais da EDO I são:
Passo 5
Agora, vamos analisar quando essas soluções se aproximam de zero quando
. Para que isso aconteça, ambos os expoentes devem ser negativos, ou seja:
A segunda desigualdade
implica
.
Passo 6
Para a parte (a), queremos todas as soluções se aproximarem de zero. Portanto, combinando as duas condições:
Porque se
, automaticamente
também será verdadeiro.
Passo 7
Agora, para a parte (b), queremos que as soluções sejam ilimitadas, ou seja, que pelo menos uma das soluções cresça sem limites. Isso ocorre se pelo menos um dos expoentes for positivo. Portanto:
Como já temos
ou
, na verdade, isso se resume a:
Pois
já está incluído em
.
Passo 8
Agora, vamos analisar a EDO II:
Seguimos o mesmo procedimento: buscamos soluções da forma
e encontramos a equação característica:
Passo 9
Resolvendo a equação característica:
Simplificando o discriminante:
Então,
, sempre positivo, com duas raízes reais iguais.
Passo 10
As raízes são:
Portanto:
Então, as soluções gerais da EDO II são:
Passo 11
Para a parte ©, queremos que todas as soluções se aproximem de zero quando
. Isso acontece se ambos os expoentes forem negativos:
A segunda condição já é sempre verdadeira, então basta:
Passo 12
Para a parte (d), queremos que as soluções sejam ilimitadas, ou seja, que pelo menos uma das soluções cresça sem limites. Isso ocorre se algum dos expoentes for positivo:
Portanto:
Resposta
a) Todas as soluções de I se aproximam de zero quando
para
.
b) Todas as soluções de I são ilimitadas quando
para
.
c) Todas as soluções de II se aproximam de zero quando
para
.
d) Todas as soluções de II são ilimitadas quando
para
.
Exercícios relacionados
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
a) Determine valor de
para que a solução de
se aproxime de zero quando
;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
a) Determine
b) Determine o valor de
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
:
Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs,
a) Verifique que e
são duas soluções da equação diferencial
para
. Mostre que
também é solução dessa equação quaisquer que sejam
;
b) Verifique que e
são duas soluções da equação diferencial
para . Mostre que
não é, em geral, solução dessa equação. Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superposição.
a) Verifique que
b) Verifique que
para