Considere as EDOs abaixo:
a) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando ?
b) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando ?
c) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando ?
d) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Temos duas EDOs de segunda ordem, e o que precisamos descobrir são os valores dos parâmetros α e β que fazem com que as soluções dessas equações se comportem de certas maneiras quando o tempo vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações características e análise das raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação I:
Para resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, buscamos soluções da forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática em . As soluções dela, e , determinam o comportamento das soluções da EDO.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes:
Vamos simplificar o discriminante:
Então, , que é sempre positivo, o que significa que temos duas raízes reais distintas.

Passo 4

As raízes são:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as soluções gerais da EDO I são:

Passo 5

Agora, vamos analisar quando essas soluções se aproximam de zero quando . Para que isso aconteça, ambos os expoentes devem ser negativos, ou seja:
A segunda desigualdade implica .

Passo 6

Para a parte (a), queremos todas as soluções se aproximarem de zero. Portanto, combinando as duas condições:
Porque se , automaticamente também será verdadeiro.

Passo 7

Agora, para a parte (b), queremos que as soluções sejam ilimitadas, ou seja, que pelo menos uma das soluções cresça sem limites. Isso ocorre se pelo menos um dos expoentes for positivo. Portanto:
Como já temos ou , na verdade, isso se resume a:
Pois já está incluído em .

Passo 8

Agora, vamos analisar a EDO II:
Seguimos o mesmo procedimento: buscamos soluções da forma e encontramos a equação característica:

Passo 9

Resolvendo a equação característica:
Simplificando o discriminante:
Então, , sempre positivo, com duas raízes reais iguais.

Passo 10

As raízes são:
Portanto:
Então, as soluções gerais da EDO II são:

Passo 11

Para a parte ©, queremos que todas as soluções se aproximem de zero quando . Isso acontece se ambos os expoentes forem negativos:
A segunda condição já é sempre verdadeira, então basta:

Passo 12

Para a parte (d), queremos que as soluções sejam ilimitadas, ou seja, que pelo menos uma das soluções cresça sem limites. Isso ocorre se algum dos expoentes for positivo:
Portanto:

Resposta

a) Todas as soluções de I se aproximam de zero quando para .
b) Todas as soluções de I são ilimitadas quando para .
c) Todas as soluções de II se aproximam de zero quando para .
d) Todas as soluções de II são ilimitadas quando para .

Exercícios relacionados

Considere os PVIs abaixo:
I)
II) .
a) Determine valor de para que a solução de se aproxime de zero quando ;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em :
Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs,
a) Verifique que e são duas soluções da equação diferencial para . Mostre que também é solução dessa equação quaisquer que sejam ;
b) Verifique que e são duas soluções da equação diferencial
para . Mostre que não é, em geral, solução dessa equação. Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superposição.