Considerando a produção de matéria seca de feijão como função da dose de fósforo , em que , descrita, por:
Encontre os pontos de máximo e mínimo globais e o ponto de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo globais e o ponto de inflexão da função que descreve a produção de matéria seca de feijão em função da dose de fósforo. A função é:
Aqui, representa a dose de fósforo, e queremos analisar essa função no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeiras e segundas, para identificar os pontos críticos e de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas da função . A derivada primeira, , nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos locais, e a derivada segunda, , nos auxilia a identificar pontos de inflexão.
Calculando a derivada primeira:
Simplificando:
Agora, a derivada segunda:
Simplificando:

Passo 3

Vamos agora encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de onde . Esses pontos são potenciais candidatos a máximos ou mínimos locais.
Igualando a derivada primeira a zero:
Essa é uma equação quadrática na forma:
Para resolver essa equação, vamos multiplicar todos os termos por para facilitar os cálculos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante ( ):
Vamos calcular isso:
Agora, encontrando as raízes:
Calculando as duas possibilidades:
  1. Para o sinal positivo:
  1. Para o sinal negativo:
Como estamos analisando o intervalo , descartamos as soluções que estão fora desse intervalo. Portanto, não há pontos críticos dentro do intervalo considerado.

Passo 4

Agora, como não encontramos pontos críticos dentro do intervalo , os extremos globais da função devem ocorrer nas bordas desse intervalo. Ou seja, nos valores de e .
Vamos calcular e :
Para :
Para :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Vamos agora verificar a derivada segunda para identificar o ponto de inflexão. O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde .
Temos:
Igualando a zero:
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 6

Vamos resumir nossos achados:
  • Extremos globais: Já que não há pontos críticos no intervalo , os extremos estão nas bordas.
    • (mínimo global)
    • (máximo global)
  • Ponto de inflexão: Em , onde a concavidade da função muda.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo globais da função são:
  • Mínimo global em , com .
  • Máximo global em , com .
Além disso, há um ponto de inflexão em .

Exercícios relacionados

Seja uma seqüência monótona que possui uma subseqüência convergindo para um limite . Prove que também converge para .
O valor de mínimo local da função é
a) -1
b) 11
c) 1
d) -11
Generalize o exercício anterior: dados os números , distintos entre si, construa uma seqüência que tenha subseqüências, cada uma convergindo para cada um desses números.
Calcule as derivadas abaixo através da definição .