Considerando a produção de matéria seca de feijão
como função da dose de fósforo
, em que
, descrita, por:
Encontre os pontos de máximo e mínimo globais e o ponto de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo globais e o ponto de inflexão da função que descreve a produção de matéria seca de feijão em função da dose de fósforo. A função é:
Aqui,
representa a dose de fósforo, e queremos analisar essa função no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeiras e segundas, para identificar os pontos críticos e de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas da função
. A derivada primeira,
, nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos locais, e a derivada segunda,
, nos auxilia a identificar pontos de inflexão.
Calculando a derivada primeira:
Simplificando:
Agora, a derivada segunda:
Simplificando:
Passo 3
Vamos agora encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de
onde
. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos ou mínimos locais.
Igualando a derivada primeira a zero:
Essa é uma equação quadrática na forma:
Para resolver essa equação, vamos multiplicar todos os termos por
para facilitar os cálculos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante (
):
Vamos calcular isso:
Agora, encontrando as raízes:
Calculando as duas possibilidades:
- Para o sinal positivo:
- Para o sinal negativo:
Como estamos analisando o intervalo
, descartamos as soluções que estão fora desse intervalo. Portanto, não há pontos críticos dentro do intervalo considerado.
Passo 4
Agora, como não encontramos pontos críticos dentro do intervalo
, os extremos globais da função devem ocorrer nas bordas desse intervalo. Ou seja, nos valores de
e
.
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Vamos agora verificar a derivada segunda para identificar o ponto de inflexão. O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde
.
Temos:
Igualando a zero:
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 6
Vamos resumir nossos achados:
-
Extremos globais: Já que não há pontos críticos no intervalo
, os extremos estão nas bordas. -
(mínimo global) -
(máximo global)
-
-
Ponto de inflexão: Em
, onde a concavidade da função muda.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo globais da função são:
- Mínimo global em
, com . - Máximo global em
, com .
Além disso, há um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Seja
uma seqüência monótona que possui uma subseqüência convergindo para um limite
. Prove que
também converge para
.
O valor de mínimo local da função
é
a) -1
b) 11
c) 1
d) -11
a) -1
b) 11
c) 1
d) -11
Generalize o exercício anterior: dados os números
, distintos entre si, construa uma seqüência que tenha
subseqüências, cada uma convergindo para cada um desses números.
Calcule as derivadas abaixo através da definição
.