Generalize o exercício anterior: dados os números
, distintos entre si, construa uma seqüência que tenha
subseqüências, cada uma convergindo para cada um desses números.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos
números diferentes, chamados
. A tarefa é construir uma sequência (uma lista infinita de números) que contenha
subsequências, e cada uma dessas subsequências vai se aproximar cada um desses números
. Ou seja, queremos que para cada
, exista uma parte da nossa sequência que, conforme vamos indo para o infinito, se aproxima cada vez mais de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e subsequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma subsequência. Imagine que você tem uma sequência infinita de números, como
. Uma subsequência é apenas uma seleção desses números, mantendo a ordem, mas pulando alguns termos. Por exemplo, se escolhermos os termos de posição par, teríamos
.
Passo 3
Agora, queremos que cada uma dessas subsequências converja para um dos
. Para isso, vamos construir nossa sequência principal de uma forma que inclua todas as subsequências desejadas intercaladas. Uma maneira comum de fazer isso é alternar entre os diferentes
de forma periódica.
Passo 4
Vamos definir a sequência geral
como sendo uma combinação das subsequências que convergem para cada
. Para cada número
, vamos criar uma subsequência que se aproxima de
. Por exemplo, podemos definir:
onde
aumenta à medida que
aumenta, garantindo que a diferença entre
e
diminua, fazendo com que a subsequência converja para
.
Passo 5
Para intercalar todas essas subsequências na sequência principal, podemos definir
de forma periódica. Por exemplo, se
, podemos alternar entre
,
e
. Em geral, para qualquer
, vamos repetir esse padrão a cada
termos.
Passo 6
Vamos formalizar isso usando a seguinte fórmula:
onde
e
. Aqui, representa a operação módulo (o resto da divisão) e
é o teto, que arredonda para cima.
Isso significa que a cada
termos, vamos incrementar
, fazendo com que cada subsequência correspondente a cada
esteja se aproximando cada vez mais de
.
Passo 7
Vamos ver um exemplo com
para clareza:
- Para
: , , então - Para
: , , então - Para
: , , então - Para
: , , então - E assim por diante…
Assim, a subsequência que escolhe
vai convergir para
, e a que escolhe
vai convergir para
.
Resposta
Portanto, uma sequência que satisfaz as condições do exercício é dada por:
onde
Dessa forma, cada uma das
subsequências converge para os respectivos números
.