Generalize o exercício anterior: dados os números L1, L2, ..., Lk, distintos entre si, construa uma seqüência que tenha k subseqüências, cada uma convergindo para cada um desses números.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos k números diferentes, chamados L1, L2, ..., Lk. A tarefa é construir uma sequência (uma lista infinita de números) que contenha k subsequências, e cada uma dessas subsequências vai se aproximar cada um desses números . Ou seja, queremos que para cada , exista uma parte da nossa sequência que, conforme vamos indo para o infinito, se aproxima cada vez mais de . Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e subsequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma subsequência. Imagine que você tem uma sequência infinita de números, como . Uma subsequência é apenas uma seleção desses números, mantendo a ordem, mas pulando alguns termos. Por exemplo, se escolhermos os termos de posição par, teríamos .

Passo 3

Agora, queremos que cada uma dessas subsequências converja para um dos . Para isso, vamos construir nossa sequência principal de uma forma que inclua todas as subsequências desejadas intercaladas. Uma maneira comum de fazer isso é alternar entre os diferentes de forma periódica.

Passo 4

Vamos definir a sequência geral como sendo uma combinação das subsequências que convergem para cada . Para cada número , vamos criar uma subsequência que se aproxima de . Por exemplo, podemos definir:
onde m aumenta à medida que n aumenta, garantindo que a diferença entre e diminua, fazendo com que a subsequência converja para .

Passo 5

Para intercalar todas essas subsequências na sequência principal, podemos definir de forma periódica. Por exemplo, se k = 3, podemos alternar entre , e . Em geral, para qualquer k, vamos repetir esse padrão a cada k termos.

Passo 6

Vamos formalizar isso usando a seguinte fórmula:
onde e . Aqui, representa a operação módulo (o resto da divisão) e é o teto, que arredonda para cima.
Isso significa que a cada termos, vamos incrementar k, fazendo com que cada subsequência correspondente a cada m esteja se aproximando cada vez mais de .

Passo 7

Vamos ver um exemplo com k = 2 para clareza:
  • Para n = 1: , m = 1, então
  • Para n = 2: , m = 1, então
  • Para n = 3: , m = 2, então
  • Para n = 4: , m = 2, então
  • E assim por diante…
Assim, a subsequência que escolhe vai convergir para , e a que escolhe vai convergir para .

Resposta

Portanto, uma sequência que satisfaz as condições do exercício é dada por:
onde
Dessa forma, cada uma das k subsequências converge para os respectivos números L1, L2, ..., Lk.

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