Generalize o exercício anterior: dados os números , distintos entre si, construa uma seqüência que tenha subseqüências, cada uma convergindo para cada um desses números.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos números diferentes, chamados . A tarefa é construir uma sequência (uma lista infinita de números) que contenha subsequências, e cada uma dessas subsequências vai se aproximar cada um desses números . Ou seja, queremos que para cada , exista uma parte da nossa sequência que, conforme vamos indo para o infinito, se aproxima cada vez mais de . Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e subsequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma subsequência. Imagine que você tem uma sequência infinita de números, como . Uma subsequência é apenas uma seleção desses números, mantendo a ordem, mas pulando alguns termos. Por exemplo, se escolhermos os termos de posição par, teríamos .
Passo 3
Agora, queremos que cada uma dessas subsequências converja para um dos . Para isso, vamos construir nossa sequência principal de uma forma que inclua todas as subsequências desejadas intercaladas. Uma maneira comum de fazer isso é alternar entre os diferentes de forma periódica.
Passo 4
Vamos definir a sequência geral como sendo uma combinação das subsequências que convergem para cada . Para cada número , vamos criar uma subsequência que se aproxima de . Por exemplo, podemos definir:
onde aumenta à medida que aumenta, garantindo que a diferença entre e diminua, fazendo com que a subsequência converja para .
Passo 5
Para intercalar todas essas subsequências na sequência principal, podemos definir de forma periódica. Por exemplo, se , podemos alternar entre , e . Em geral, para qualquer , vamos repetir esse padrão a cada termos.
Passo 6
Vamos formalizar isso usando a seguinte fórmula:
onde e . Aqui, representa a operação módulo (o resto da divisão) e é o teto, que arredonda para cima.
Isso significa que a cada termos, vamos incrementar , fazendo com que cada subsequência correspondente a cada esteja se aproximando cada vez mais de .
Passo 7
Vamos ver um exemplo com para clareza:
- Para : , , então
- Para : , , então
- Para : , , então
- Para : , , então
- E assim por diante...
Assim, a subsequência que escolhe vai convergir para , e a que escolhe vai convergir para .
Resposta
Portanto, uma sequência que satisfaz as condições do exercício é dada por:
onde
Dessa forma, cada uma das subsequências converge para os respectivos números .
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