O valor de mínimo local da função f(x) = 18 x + 3 x^2 - 4 x^3 é
a) -1
b) 11
c) 1
d) -11

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o valor do mínimo local dessa função. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a . Calculando, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero e resolver para :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Para determinar qual desses pontos é um mínimo, vamos analisar a segunda derivada da função :
Calculando em :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.

Resposta

O valor de mínimo local é .

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