Seja
uma seqüência monótona que possui uma subseqüência convergindo para um limite
. Prove que
também converge para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências monótonas e subsequências. A gente precisa provar que se uma sequência
é monótona (ou seja, sempre aumentando ou sempre diminuindo) e tem uma subsequência que converge para um certo limite
, então a própria sequência
também converge para esse mesmo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das sequências monótonas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Essa propriedade é importante porque sequências monótonas têm comportamentos bem definidos em termos de convergência.
Passo 3
Agora, como sabemos que
é monótona e tem uma subsequência que converge para
, podemos usar o Teorema da Monotonia, que nos diz que toda sequência monótona que é limitada converge. Ou seja, se uma sequência monótona não cresce indefinidamente, ela vai se aproximar de um valor específico.
Passo 4
Como temos uma subsequência convergindo para
, isso implica que a sequência
está limitada. Por exemplo, se for crescente, todos os seus termos estão abaixo de
e começam a se aproximar de
. Se for decrescente, todos os termos estão acima de
e se aproximam de
.
Passo 5
Portanto, sabendo que
é monótona e limitada (já que uma subsequência converge para
), pelo Teorema da Monotonia, concluímos que a sequência toda
converge. E o limite dessa sequência é exatamente o limite da subsequência, ou seja,
.
Resposta
Assim, provamos que
.