Seja uma seqüência monótona que possui uma subseqüência convergindo para um limite . Prove que também converge para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências monótonas e subsequências. A gente precisa provar que se uma sequência é monótona (ou seja, sempre aumentando ou sempre diminuindo) e tem uma subsequência que converge para um certo limite , então a própria sequência também converge para esse mesmo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das sequências monótonas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Essa propriedade é importante porque sequências monótonas têm comportamentos bem definidos em termos de convergência.

Passo 3

Agora, como sabemos que é monótona e tem uma subsequência que converge para , podemos usar o Teorema da Monotonia, que nos diz que toda sequência monótona que é limitada converge. Ou seja, se uma sequência monótona não cresce indefinidamente, ela vai se aproximar de um valor específico.

Passo 4

Como temos uma subsequência convergindo para , isso implica que a sequência está limitada. Por exemplo, se for crescente, todos os seus termos estão abaixo de e começam a se aproximar de . Se for decrescente, todos os termos estão acima de e se aproximam de .

Passo 5

Portanto, sabendo que é monótona e limitada (já que uma subsequência converge para ), pelo Teorema da Monotonia, concluímos que a sequência toda converge. E o limite dessa sequência é exatamente o limite da subsequência, ou seja, .

Resposta

Assim, provamos que .

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