Considere as matrizes
A=[llll 1 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 1 ] e A^-1=[bi j]4 times 4
Determine b14 cdot b24.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e sua inversa , representada por . A tarefa é calcular o produto dos elementos e da matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas e como encontrar os elementos específicos dessa inversa.

Passo 2

Observando a matriz , vemos que ela é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Além disso, os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Essa estrutura facilita o cálculo da inversa, pois a matriz inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior, com elementos da diagonal principal iguais a 1.

Passo 3

Para encontrar os elementos e da matriz inversa , sabemos que a multiplicação de por deve resultar na matriz identidade . Vamos escrever as equações correspondentes às posições que envolvem e .

Passo 4

Multiplicando A cdot A^-1 = I por , temos:
Isso nos dá um sistema de equações onde cada elemento resultante na matriz identidade deve ser igual ao correspondente na multiplicação das matrizes. Focaremos nas equações que envolvem e .

Passo 5

Analisando a posição 1 cdot b14 + 2 cdot b24 + 0 cdot b34 + 0 cdot b44 = 0 na multiplicação, temos:
b14 + 2b24 = 0
Como e são elementos que não precisamos para este cálculo específico e , simplificamos a equação para:

Passo 6

Já sabemos que na matriz inversa 0 cdot b14 + 1 cdot b24 + 2 cdot b34 + 0 cdot b44 = 0 , os elementos diagonais são 1. Portanto, temos outra equação a partir da posição b24 = 0 :
Novamente, simplificando e sabendo que não influencia neste caso, temos:

Passo 7

Agora que encontramos b14 + 2(0) = 0 implies b14 = 0 , substituímos esse valor na equação do Passo 5:

Resposta

Portanto, .

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