Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a)( )Se
e
, em que
e
, então
.
(a)( )Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre matrizes e precisa decidir se ela é verdadeira ou falsa. O enunciado diz que se
e
, com algumas matrizes inversas
e
dadas, então
é um certo vetor específico. Para resolver isso, vamos precisar entender multiplicação de matrizes, matrizes inversas e como resolver equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Quando temos duas matrizes multiplicadas, a ordem importa, então é importante prestar atenção nisso. Para resolver a equação
e encontrar
, a gente precisa isolar
. Na matemática, isso é como dividir ambos os lados por
, mas com matrizes, usamos a matriz inversa.
Passo 3
A ideia é que se a gente tem
, então multiplicando ambos os lados por
(que é a inversa de
), a gente consegue isolar
. Ou seja:
Como
(a matriz identidade), resulta:
Então, para encontrar
, precisamos calcular
.
Passo 4
Mas temos
, então vamos encontrar
. A inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa. Ou seja:
Agora, vamos multiplicar
por
:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
:
Multiplicando
por
:
Agora, multiplicamos
por o resultado acima:
Então:
Resposta
A afirmação diz que
, mas nosso cálculo mostrou que
. Portanto, a afirmação é Falsa.