Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a)( )Se A=C D e A X=B, em que C^-1=[ll1 & 2 2 & 3], D^-1=[rr2 & 1 3 & -2] e B=[l1 1], então X=[r9 -1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre matrizes e precisa decidir se ela é verdadeira ou falsa. O enunciado diz que se e , com algumas matrizes inversas e dadas, então é um certo vetor específico. Para resolver isso, vamos precisar entender multiplicação de matrizes, matrizes inversas e como resolver equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Quando temos duas matrizes multiplicadas, a ordem importa, então é importante prestar atenção nisso. Para resolver a equação e encontrar , a gente precisa isolar . Na matemática, isso é como dividir ambos os lados por , mas com matrizes, usamos a matriz inversa.

Passo 3

A ideia é que se a gente tem A^-1AX = A^-1B , então multiplicando ambos os lados por IX = A^-1B implies X = A^-1B (que é a inversa de ), a gente consegue isolar . Ou seja:
Como (a matriz identidade), resulta:
Então, para encontrar , precisamos calcular .

Passo 4

Mas temos A^-1 = (CD)^-1 = D^-1C^-1 , então vamos encontrar X = A^-1B = D^-1C^-1B . A inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa. Ou seja:
Agora, vamos multiplicar por :
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular C^-1 = 1 & 2 2 & 3 , B = 1 1 :
C^-1B = 1 times 1 + 2 times 1 2 times 1 + 3 times 1 = 3 5
Multiplicando D^-1 = 2 & 1 3 & -2 , C^-1B = 3 5 por X = D^-1C^-1B = 2 times 3 + 1 times 5 3 times 3 + (-2) times 5 = 6 + 5 9 - 10 = 11 -1 :
Agora, multiplicamos por o resultado acima:
Então:

Resposta

A afirmação diz que 9 -1 , mas nosso cálculo mostrou que 11 -1 . Portanto, a afirmação é Falsa.

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