Considerando S=u=(x, x) in R^2 mid x in R, determine S^perp.

Passo 1

Oi! Vamos lá: temos o conjunto e precisamos encontrar o complemento ortogonal . Isso está ligado à álgebra linear, especificamente aos conceitos de espaços vetoriais e ortogonalidade. Vamos usar o produto escalar para descobrir quais vetores são ortogonais a todos os vetores de .

Passo 2

Primeiro, lembra que o complemento ortogonal é o conjunto de todos os vetores em que são perpendiculares a todos os vetores de . Ou seja, se a gente pegar qualquer vetor de e fazer o produto escalar com um vetor de , o resultado tem que ser zero.

Passo 3

Vamos considerar um vetor qualquer que está em . Para ele ser ortogonal a todos os vetores de , temos que para todo em .

Passo 4

Calculando o produto escalar:
v cdot u = a cdot x + b cdot x = x(a + b)
Queremos que isso seja igual a zero para qualquer valor de .

Passo 5

Como a + b = 0 pode ser qualquer número real, a única maneira de ser sempre verdadeiro é se o coeficiente de for zero. Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a equação , temos que . Isso significa que o segundo componente do vetor é o negativo do primeiro componente.

Passo 7

Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é um número real qualquer.

Resposta

O complemento ortogonal de S^perp = , v = (a, -a) in R^2 ;|; a in R , é

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