Considerando
, determine
.
Passo 1
Oi! Vamos lá: temos o conjunto
e precisamos encontrar o complemento ortogonal
. Isso está ligado à álgebra linear, especificamente aos conceitos de espaços vetoriais e ortogonalidade. Vamos usar o produto escalar para descobrir quais vetores são ortogonais a todos os vetores de
.
Passo 2
Primeiro, lembra que o complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores em
que são perpendiculares a todos os vetores de
. Ou seja, se a gente pegar qualquer vetor de
e fazer o produto escalar com um vetor de
, o resultado tem que ser zero.
Passo 3
Vamos considerar um vetor qualquer
que está em
. Para ele ser ortogonal a todos os vetores de
, temos que
para todo
em
.
Passo 4
Calculando o produto escalar:
Queremos que isso seja igual a zero para qualquer valor de
.
Passo 5
Como
pode ser qualquer número real, a única maneira de
ser sempre verdadeiro é se o coeficiente de
for zero. Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação
, temos que
. Isso significa que o segundo componente do vetor
é o negativo do primeiro componente.
Passo 7
Portanto, qualquer vetor
em
pode ser escrito como
, onde
é um número real qualquer.
Resposta
O complemento ortogonal de
é