Sejam
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a projeção do vetor
no subespaço
, que é gerado pelos vetores
e
. Aqui, estamos trabalhando com projeções vetoriais e subespaços vetoriais no espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor em um subespaço usando uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a base do subespaço
. Os vetores dados são
e
. Notamos que esses vetores são ortogonais porque o produto interno entre eles é zero:
Isso facilita nosso cálculo, já que a projeção em um subespaço com base ortogonal é mais direta.
Passo 3
A fórmula para a projeção de
em
quando a base é ortogonal é:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos o produto interno de
com
:
E a norma de
:
Então, a primeira parte da projeção é:
Passo 5
Agora, calculamos o produto interno de
com
:
E a norma de
:
Então, a segunda parte da projeção é:
Passo 6
Por fim, somamos as duas partes para obter a projeção final:
Resposta
A projeção de
no subespaço
é
.