Sejam W=[(1,1,0),(0,0,1)] subset R^3 e v=(2,1,-1). Determine projW v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a projeção do vetor no subespaço , que é gerado pelos vetores e . Aqui, estamos trabalhando com projeções vetoriais e subespaços vetoriais no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor em um subespaço usando uma base ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base do subespaço u1 cdot u2 = 1 times 0 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 . Os vetores dados são e . Notamos que esses vetores são ortogonais porque o produto interno entre eles é zero:
Isso facilita nosso cálculo, já que a projeção em um subespaço com base ortogonal é mais direta.

Passo 3

A fórmula para a projeção de projW v = v cdot u1|u1|^2 u1 + v cdot u2|u2|^2 u2 em quando a base é ortogonal é:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto interno de v cdot u1 = 2 times 1 + 1 times 1 + (-1) times 0 = 3 com |u1|^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 :
32 times u1 = 32 times (1, 1, 0) = ( 32, 32, 0 )
E a norma de :
Então, a primeira parte da projeção é:

Passo 5

Agora, calculamos o produto interno de v cdot u2 = 2 times 0 + 1 times 0 + (-1) times 1 = -1 com |u2|^2 = 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 :
-11 times u2 = -1 times (0, 0, 1) = (0, 0, -1)
E a norma de :
Então, a segunda parte da projeção é:

Passo 6

Por fim, somamos as duas partes para obter a projeção final:
projW v = ( 32, 32, 0 ) + (0, 0, -1) = ( 32, 32, -1 )

Resposta

A projeção de no subespaço é .

Exercícios relacionados