Seja a função f: R^3 times R^3 R definida por f((x1, y1, z1),(x2, y2, z2))=x1 x2+5 y1 y 2+ 2 z1 z2.
(a) Verifique se f é um produto interno;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função f((x1, y1, z1),(x2, y2, z2)) = x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2 que recebe dois vetores em e retorna um número real. A função está definida por:
A pergunta é: essa função é um produto interno? Para responder isso, precisamos saber o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Um produto interno (ou produto escalar) em um espaço vetorial deve satisfazer algumas propriedades básicas:
  1. Simetria: para quaisquer vetores e .
  2. Linearidade: O produto interno é linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que:
  3. Positividade Definida: para todo vetor diferente de zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Simetria:
Vamos trocar f((x2, y2, z2), (x1, y1, z1)) = x2x1 + 5y2y1 + 2z2z1 e f(u, v) = f(v, u) na função :
Como a multiplicação é comutativa ( , etc.), temos:
Então, a simetria está confirmada.

Passo 4

2. Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer escalar f(au + bv, w) = a f(u, w) + b f(v, w) , au + bv = (a x1 + b x2, a y1 + b y2, a z1 + b z2) e vetores f(au + bv, w) = (a x1 + b x2)w1 + 5(a y1 + b y2)w2 + 2(a z1 + b z2)w3 :
= a x1w1 + b x2w1 + 5a y1w2 + 5b y2w2 + 2a z1w3 + 2b z2w3
Vamos calcular o lado esquerdo:
a f(u, w) + b f(v, w) = a(x1w1 + 5y1w2 + 2z1w3) + b(x2w1 + 5y2w2 + 2z2w3)
Então,
= a x1w1 + 5a y1w2 + 2a z1w3 + b x2w1 + 5b y2w2 + 2b z2w3
Distribuindo os termos:
Agora, vamos ver o lado direito:
Distribuindo e :
Observamos que os dois lados são iguais, então a linearidade no primeiro argumento está confirmada. Como a função é simétrica, a linearidade no segundo argumento também se confirma.

Passo 5

3. Positividade Definida:
Precisamos verificar que para todo vetor f(u, u) > 0 :
f((x1, y1, z1), (x1, y1, z1)) = x1^2 + 5y1^2 + 2z1^2
Vamos calcular :
Como , e são sempre não negativos, e os coeficientes 1, 5 e 2 são positivos, a soma será sempre maior que zero, a menos que , ou seja, .
Portanto, a positividade definida está confirmada.

Resposta

Sim, a função definida por é um produto interno em .

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