Seja a função
definida por
.
(a) Verifique se
é um produto interno;
(a) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que recebe dois vetores em
e retorna um número real. A função está definida por:
A pergunta é: essa função
é um produto interno? Para responder isso, precisamos saber o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Um produto interno (ou produto escalar) em um espaço vetorial deve satisfazer algumas propriedades básicas:
- Simetria:
para quaisquer vetores e . - Linearidade: O produto interno é linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que:
-
- Positividade Definida:
para todo vetor diferente de zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
dada.
Passo 3
1. Simetria:
Vamos trocar
e
na função
:
Como a multiplicação é comutativa (
, etc.), temos:
Então, a simetria está confirmada.
Passo 4
2. Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer escalar
,
e vetores
:
Vamos calcular o lado esquerdo:
Então,
Distribuindo os termos:
Agora, vamos ver o lado direito:
Distribuindo
e
:
Observamos que os dois lados são iguais, então a linearidade no primeiro argumento está confirmada. Como a função é simétrica, a linearidade no segundo argumento também se confirma.
Passo 5
3. Positividade Definida:
Precisamos verificar que para todo vetor
:
Vamos calcular
:
Como
,
e
são sempre não negativos, e os coeficientes 1, 5 e 2 são positivos, a soma será sempre maior que zero, a menos que
, ou seja,
.
Portanto, a positividade definida está confirmada.
Resposta
Sim, a função
definida por
é um produto interno em
.