Seja
um espaço vetorial com produto interno
,
e
, então:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que, num espaço vetorial
com um produto interno
, o complemento ortogonal do complemento ortogonal de
é igual a
mesmo, ou seja,
. A matéria envolvida aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais com produto interno e complementos ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como ele se relaciona com subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal de um conjunto
em
. O complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor em
. Em outras palavras:
Isso significa que
contém todos os vetores que “são perpendiculares” a todos os vetores de
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
, ou seja, o complemento ortogonal do complemento ortogonal de
. Vamos entender o que isso representa. Primeiro,
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a
. Em seguida,
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a
.
Passo 4
Para provar que
, precisamos mostrar duas coisas:
- Todo vetor em
está em . - Todo vetor em
está em .
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, pegamos qualquer vetor
em
. Queremos mostrar que
está em
. Por definição,
está em
se para todo
em
, temos
.
Mas como
está em
, sabemos que
para todo
em
. Como
está em
, então
, o que significa que
realmente está em
.
Passo 6
Agora, precisamos mostrar que qualquer vetor
em
está também em
. Suponha que
não esteja em
. Então, podemos encontrar um vetor em
que não seja ortogonal a
, o que causaria uma contradição, já que
deveria ser ortogonal a todos os vetores de
.
Portanto,
deve pertencer a
, garantindo que
.
Passo 7
Com os dois pontos anteriores, temos que
e
. Isso implica que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.