Seja V um espaço vetorial com produto interno lang<=, rang<= Se S1 e S2 subset V, então:
(b) [S1^perp]^perp=S1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que, num espaço vetorial com um produto interno , o complemento ortogonal do complemento ortogonal de é igual a mesmo, ou seja, . A matéria envolvida aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais com produto interno e complementos ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como ele se relaciona com subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal de um conjunto S^perp = v in V mid lang<= v, s rang<= = 0 para todo s in S em . O complemento ortogonal é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor em . Em outras palavras:
Isso significa que contém todos os vetores que “são perpendiculares” a todos os vetores de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar , ou seja, o complemento ortogonal do complemento ortogonal de . Vamos entender o que isso representa. Primeiro, é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a . Em seguida, é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a .

Passo 4

Para provar que , precisamos mostrar duas coisas:
  1. Todo vetor em está em .
  2. Todo vetor em está em .
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, pegamos qualquer vetor em . Queremos mostrar que está em . Por definição, está em se para todo em , temos .
Mas como está em , sabemos que para todo em . Como está em , então , o que significa que realmente está em .

Passo 6

Agora, precisamos mostrar que qualquer vetor em está também em . Suponha que não esteja em . Então, podemos encontrar um vetor em que não seja ortogonal a , o que causaria uma contradição, já que deveria ser ortogonal a todos os vetores de .
Portanto, deve pertencer a , garantindo que .

Passo 7

Com os dois pontos anteriores, temos que e . Isso implica que .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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