Considere o espaço vetorial real
munido do produto interno usual.
© Calcular os coeficientes de Fourier da função
, para
, com relação ao conjunto ortogonal
.
© Calcular os coeficientes de Fourier da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os coeficientes de Fourier da função
no intervalo
. Isso está dentro do estudo das séries de Fourier, que é uma forma de representar funções periódicas como soma de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes
,
e
usando o produto interno no espaço vetorial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função
no intervalo
é dada por:
Os coeficientes
,
e
são calculados usando as fórmulas de projeção em cada função da base ortogonal
.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 4
Como
é uma função par (isto é,
), podemos simplificar a integral:
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 6
Novamente, aproveitando que
é uma função par e
também é par, podemos simplificar a integral:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Portanto:
Passo 8
Voltando à expressão de
:
Substituindo os limites de integração:
Passo 9
Simplificando os termos:
Sabemos que
para qualquer inteiro
, e
.
Então:
Passo 10
Portanto, os coeficientes de Fourier são:
E, devido à paridade da função
, os coeficientes
são todos iguais a zero.
Resposta
Os coeficientes de Fourier da função
no intervalo
são: