Considere o espaço vetorial real C([-pi, pi]) munido do produto interno usual.
© Calcular os coeficientes de Fourier da função f(x)=|x|, para x in[-pi, pi], com relação ao conjunto ortogonal gamma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os coeficientes de Fourier da função no intervalo . Isso está dentro do estudo das séries de Fourier, que é uma forma de representar funções periódicas como soma de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes , e usando o produto interno no espaço vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) ) no intervalo é dada por:
Os coeficientes , e são calculados usando as fórmulas de projeção em cada função da base ortogonal .

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente a0 = 1π integral-π^π f(x) , dx . A fórmula para a0 = 1π integral-π^π |x| , dx é:
Substituindo :

Passo 4

Como a0 = 2π integral0^π x , dx é uma função par (isto é, integral0^π x , dx = [ x^22 ]0^π = π^22 ), podemos simplificar a integral:
a0 = 2π cdot π^22 = π
Calculando a integral:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1π integral-π^π f(x) cos(nx) , dx . A fórmula para an = 1π integral-π^π |x| cos(nx) , dx é:
Substituindo :

Passo 6

Novamente, aproveitando que an = 2π integral0^π x cos(nx) , dx é uma função par e u = x Rightarrow du = dx também é par, podemos simplificar a integral:
dv = cos(nx) , dx Rightarrow v = sin(nx)n
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
integral x cos(nx) , dx = x cdot sin(nx)n - integral sin(nx)n , dx
Calculando a segunda integral:
integral sin(nx)n , dx = -cos(nx)n^2
Portanto:
integral x cos(nx) , dx = x sin(nx)n + cos(nx)n^2 + C

Passo 8

Voltando à expressão de an = 2π [ x sin(nx)n + cos(nx)n^2 ]0^π :
an = 2π ( π sin(nπ)n + cos(nπ)n^2 - ( 0 + 1n^2 ) )
Substituindo os limites de integração:

Passo 9

Simplificando os termos:
Sabemos que an = 2π ( 0 + (-1)^nn^2 - 1n^2 ) = 2π cdot (-1)^n - 1n^2 para qualquer inteiro , e .
Então:

Passo 10

Portanto, os coeficientes de Fourier são:
a0 = π
an = 2π cdot (-1)^n - 1n^2
E, devido à paridade da função , os coeficientes são todos iguais a zero.

Resposta

Os coeficientes de Fourier da função a0 = π no intervalo an = 2π cdot (-1)^n - 1n^2 para n >= 1 são:
bn = 0 para n >= 1

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