Considerando que seja necessário um trabalho total W para dar a um objeto uma velocidade escalar v e uma energia cinética K, partindo do repouso, qual será a velocidade escalar do objeto (em termos de v ) e a energia cinética (em termos de K ) se realizarmos o dobro do trabalho sobre ele, também partindo do repouso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre trabalho, velocidade e energia cinética. A gente precisa descobrir como a velocidade e a energia cinética do objeto mudam quando dobramos o trabalho realizado sobre ele, começando do repouso. Vamos usar conceitos de trabalho e energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( W) realizado sobre um objeto está ligado à energia cinética ( K) que ele ganha. A fórmula que relaciona trabalho e energia cinética é:
W = De
Como o objeto parte do repouso, toda a energia cinética final é igual ao trabalho realizado:
W = K

Passo 3

Agora, queremos dobrar o trabalho realizado. Então, o novo trabalho será:
W' = 2W
Usando a mesma relação com a energia cinética:
W' = K'
Portanto:
2W = K'
Como W = K, substituímos:
2K = K'
Então, a nova energia cinética é o dobro da original:
K' = 2K

Passo 4

Vamos agora relacionar a nova energia cinética com a velocidade. Sabemos que a energia cinética é dada por:
K = 12 m v^2
Com a nova energia cinética:
K' = 12 m v'^2
Substituindo K' = 2K:
2K = 12 m v'^2
E como K = 12 m v^2, temos:
2 ( 12 m v^2 ) = 12 m v'^2
Simplificando:
m v^2 = 12 m v'^2

Passo 5

Agora, vamos resolver para v':
v^2 = 12 v'^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
2v^2 = v'^2
Tirando a raiz quadrada:
v' = raiz2 v

Resposta

Ao dobrar o trabalho realizado sobre o objeto, sua velocidade passa a ser raiz2, v e sua energia cinética passa a ser 2, K.

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