Considerando que seja necessário um trabalho total
para dar a um objeto uma velocidade escalar
e uma energia cinética
, partindo do repouso, qual será a velocidade escalar do objeto (em termos de
) e a energia cinética (em termos de
) se realizarmos o dobro do trabalho sobre ele, também partindo do repouso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre trabalho, velocidade e energia cinética. A gente precisa descobrir como a velocidade e a energia cinética do objeto mudam quando dobramos o trabalho realizado sobre ele, começando do repouso. Vamos usar conceitos de trabalho e energia cinética para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho (
) realizado sobre um objeto está ligado à energia cinética (
) que ele ganha. A fórmula que relaciona trabalho e energia cinética é:
Como o objeto parte do repouso, toda a energia cinética final é igual ao trabalho realizado:
Passo 3
Agora, queremos dobrar o trabalho realizado. Então, o novo trabalho será:
Usando a mesma relação com a energia cinética:
Portanto:
Como
, substituímos:
Então, a nova energia cinética é o dobro da original:
Passo 4
Vamos agora relacionar a nova energia cinética com a velocidade. Sabemos que a energia cinética é dada por:
Com a nova energia cinética:
Substituindo
:
E como
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tirando a raiz quadrada:
Resposta
Ao dobrar o trabalho realizado sobre o objeto, sua velocidade passa a ser
e sua energia cinética passa a ser
.