(HallidaY) Ache o ângulo entre dois vetores.
A=2 i+3 j+k e B=-4 i+2 j-K

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores. Aqui, estamos lidando com vetores e usando conceitos de produto escalar e magnitude para achar esse ângulo. Vamos precisar calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes de cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores A e B. O produto escalar de dois vetores A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 e A cdot B = (2)(-4) + (3)(2) + (1)(-1) = -8 + 6 - 1 = -3 é dado por:
Aplicando os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor ||V|| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é dada por:
||A|| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Para o vetor A:
||B|| = raiz(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz16 + 4 + 1 = raiz21
Para o vetor B:

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores:
cos(theta) = A cdot B||A|| , ||B|| = -3raiz14 times raiz21 = -3raiz294
cos(theta) = -3raiz294 approx -317.1464 approx -0.175

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0.175) approx 100^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 100 graus.

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