Considerando uma sequência infinita an, para todo n >= 1, define-se série infinita como sendo a soma de todos os termos de an e escrevemos:
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de an obtiver um número real, caso contrário, essa será divergente. Assim, ao denotarmos ^5 n por sua n-ésima soma, ou seja, , diz-se que se a sequência sn for convergente e lim n infty sn=s existir, então a série será convergente e sumn=1^infty an=s. Com base nessas informações, e considerando sn=n2 n+5, pode-se afirmar que
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é 12.
C) a série é convergente, e sua soma é 15
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência infinita an e a série associada a ela, que é a soma de todos os termos dessa sequência. O enunciado nos dá a expressão da soma parcial sn = n2n + 5 e pergunta se a série é convergente ou divergente, além de qual seria a soma caso seja convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de convergência de séries e calcular o limite da soma parcial quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série sumn=1^infty an é dita convergente se a soma dos seus termos, mesmo sendo infinitos, tende a um número real específico. Para verificar isso, analisamos o limite da soma parcial sn quando n vai para o infinito. Se esse limite existe e é um número real, a série converge para esse valor.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da soma parcial sn = n2n + 5 quando n tende ao infinito. Para fazer isso, podemos dividir o numerador e o denominador por n, que é o maior grau presente:
limn to infty n2n + 5 = limn to infty nn2nn + 5n = limn to infty 12 + 5n
Quando n vai para o infinito, 5n tende a 0. Então:
limn to infty 12 + 0 = 12

Passo 4

Como o limite da soma parcial sn é 12, isso significa que a série sumn=1^infty an converge para 12. Portanto, a alternativa correta é:
B) a série é convergente, e sua soma é 12.

Resposta

Alternativa B) a série é convergente, e sua soma é 12.

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