Considerando uma sequência infinita
, para todo
, define-se série infinita como sendo a soma de todos os termos de
e escrevemos:
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de
obtiver um número real, caso contrário, essa será divergente. Assim, ao denotarmos
por sua n-ésima soma, ou seja, , diz-se que se a sequência
for convergente e
existir, então a série será convergente e
. Com base nessas informações, e considerando
, pode-se afirmar que
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é
.
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência infinita
e a série associada a ela, que é a soma de todos os termos dessa sequência. O enunciado nos dá a expressão da soma parcial
e pergunta se a série é convergente ou divergente, além de qual seria a soma caso seja convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de convergência de séries e calcular o limite da soma parcial quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série
é dita convergente se a soma dos seus termos, mesmo sendo infinitos, tende a um número real específico. Para verificar isso, analisamos o limite da soma parcial
quando
vai para o infinito. Se esse limite existe e é um número real, a série converge para esse valor.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da soma parcial
quando
tende ao infinito. Para fazer isso, podemos dividir o numerador e o denominador por
, que é o maior grau presente:
Quando
vai para o infinito,
tende a 0. Então:
Passo 4
Como o limite da soma parcial
é
, isso significa que a série
converge para
. Portanto, a alternativa correta é:
B) a série é convergente, e sua soma é
.
Resposta
Alternativa B) a série é convergente, e sua soma é
.
Exercícios relacionados
Considere os conjuntos
e
. Classifique as proposições abaixo como verdadeiras
ou falsas
.
(g)
(g)
Testes de Convergência:
- Se tentarmos somar os termos de uma sequência de números reais (
), obteremos uma expressão da forma (1) que é denominada série infinita ou simplesmente série.
Assim, dada a série (1), denotemos porsua -ésima soma parcial. Se a sequência for convergente , então, a série será dita convergente e escreveremos . O número é denominado soma da série. Caso contrário, a série será dita divergente.
Observe, pela definição apresentada, que a soma de uma série é o limite da sequência de suas somas parciais. Desde modo, quando escrevemosqueremos dizer que, somando uma quantidade suficiente de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número .
Das propriedades aritméticas do limite de sequências, concluímos que se
forem séries convergentes, então, a série será convergente, com . Além disso, se convergir, então, para todo número real , ter-se-á convergente, com .
CERQUEIRA, A. C. S. Um estudo sobre sequências e séries. 2013. 58 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro, 2013.
Pode-se destacar a série geométrica definida por
Observe que cada termo é obtido por meio da multiplicação do número real
,
é denominado razão. Sabe-se que se
a série será divergente, caso contrário, se
a série será convergente.
Dada série geométrica , observa-se que
, portanto, a série é convergente. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a série
converge para
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
Dada série geométrica
A)
B)
C)
D)
E)
Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ) as sentenças abaixo:
a) e
, então
.
a)
Com base nos conjuntos
e
, preencha o campo abaixo com a simbologia adequada:
e) C A
e) C