Considerando uma sequência infinita , para todo , define-se série infinita como sendo a soma de todos os termos de e escrevemos:
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de obtiver um número real, caso contrário, essa será divergente. Assim, ao denotarmos por sua n-ésima soma, ou seja, , diz-se que se a sequência for convergente e existir, então a série será convergente e . Com base nessas informações, e considerando , pode-se afirmar que
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é .
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência infinita e a série associada a ela, que é a soma de todos os termos dessa sequência. O enunciado nos dá a expressão da soma parcial e pergunta se a série é convergente ou divergente, além de qual seria a soma caso seja convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de convergência de séries e calcular o limite da soma parcial quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série é dita convergente se a soma dos seus termos, mesmo sendo infinitos, tende a um número real específico. Para verificar isso, analisamos o limite da soma parcial quando vai para o infinito. Se esse limite existe e é um número real, a série converge para esse valor.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da soma parcial quando tende ao infinito. Para fazer isso, podemos dividir o numerador e o denominador por , que é o maior grau presente:
Quando vai para o infinito, tende a 0. Então:

Passo 4

Como o limite da soma parcial é , isso significa que a série converge para . Portanto, a alternativa correta é:
B) a série é convergente, e sua soma é .

Resposta

Alternativa B) a série é convergente, e sua soma é .

Exercícios relacionados

Considere os conjuntos e . Classifique as proposições abaixo como verdadeiras ou falsas .
(g)

Testes de Convergência:

  1. Se tentarmos somar os termos de uma sequência de números reais ( ), obteremos uma expressão da forma (1) que é denominada série infinita ou simplesmente série.
    Assim, dada a série (1), denotemos por sua -ésima soma parcial. Se a sequência for convergente , então, a série será dita convergente e escreveremos . O número é denominado soma da série. Caso contrário, a série será dita divergente.
    Observe, pela definição apresentada, que a soma de uma série é o limite da sequência de suas somas parciais. Desde modo, quando escrevemos queremos dizer que, somando uma quantidade suficiente de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número .
    Das propriedades aritméticas do limite de sequências, concluímos que se
    forem séries convergentes, então, a série será convergente, com . Além disso, se convergir, então, para todo número real , ter-se-á convergente, com .
    CERQUEIRA, A. C. S. Um estudo sobre sequências e séries. 2013. 58 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro, 2013.
    Pode-se destacar a série geométrica definida por
Observe que cada termo é obtido por meio da multiplicação do número real , é denominado razão. Sabe-se que se a série será divergente, caso contrário, se a série será convergente.
Dada série geométrica , observa-se que , portanto, a série é convergente. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a série converge para
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ) as sentenças abaixo:
a) e , então .
Com base nos conjuntos e , preencha o campo abaixo com a simbologia adequada:
e) C A