Considerando uma sequência infinita
, para todo
, define-se série infinita como sendo a soma de todos os termos de
e escrevemos:
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de
obtiver um número real, caso contrário, essa será divergente. Assim, ao denotarmos
por sua n-ésima soma, ou seja, , diz-se que se a sequência
for convergente e
existir, então a série será convergente e
. Com base nessas informações, e considerando
, pode-se afirmar que
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é
.
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência infinita
e a série associada a ela, que é a soma de todos os termos dessa sequência. O enunciado nos dá a expressão da soma parcial
e pergunta se a série é convergente ou divergente, além de qual seria a soma caso seja convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de convergência de séries e calcular o limite da soma parcial quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série
é dita convergente se a soma dos seus termos, mesmo sendo infinitos, tende a um número real específico. Para verificar isso, analisamos o limite da soma parcial
quando
vai para o infinito. Se esse limite existe e é um número real, a série converge para esse valor.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da soma parcial
quando
tende ao infinito. Para fazer isso, podemos dividir o numerador e o denominador por
, que é o maior grau presente:
Quando
vai para o infinito,
tende a 0. Então:
Passo 4
Como o limite da soma parcial
é
, isso significa que a série
converge para
. Portanto, a alternativa correta é:
B) a série é convergente, e sua soma é
.
Resposta
Alternativa B) a série é convergente, e sua soma é
.