Testes de Convergência:

  1. Se tentarmos somar os termos de uma sequência de números reais ( ), obteremos uma expressão da forma (1) que é denominada série infinita ou simplesmente série.
    Assim, dada a série (1), denotemos por sua -ésima soma parcial. Se a sequência for convergente , então, a série será dita convergente e escreveremos . O número é denominado soma da série. Caso contrário, a série será dita divergente.
    Observe, pela definição apresentada, que a soma de uma série é o limite da sequência de suas somas parciais. Desde modo, quando escrevemos queremos dizer que, somando uma quantidade suficiente de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número .
    Das propriedades aritméticas do limite de sequências, concluímos que se
    forem séries convergentes, então, a série será convergente, com . Além disso, se convergir, então, para todo número real , ter-se-á convergente, com .
    CERQUEIRA, A. C. S. Um estudo sobre sequências e séries. 2013. 58 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro, 2013.
    Pode-se destacar a série geométrica definida por
Observe que cada termo é obtido por meio da multiplicação do número real , é denominado razão. Sabe-se que se a série será divergente, caso contrário, se a série será convergente.
Dada série geométrica , observa-se que , portanto, a série é convergente. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a série converge para
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente encontrar para qual valor a série converge. A gente vai usar conceitos de séries geométricas para resolver isso. Então, vamos precisar lembrar como funciona uma série geométrica e como calcular sua soma quando ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série que temos é uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ( ). A fórmula geral de uma série geométrica infinita é:
Ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ) e, nesse caso, a soma é dada por:

Passo 3

Agora, vamos ajustar nossa série para caber nessa fórmula. A nossa série começa no e é da forma . Para igualar isso à fórmula padrão, precisamos reescrever a série começando do :
Aqui, o primeiro termo ( ) é e a razão ( ) é .

Passo 4

Agora que temos e , podemos usar a fórmula da soma da série geométrica:

Resposta

B) .

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(g)
Considerando uma sequência infinita , para todo , define-se série infinita como sendo a soma de todos os termos de e escrevemos:
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de obtiver um número real, caso contrário, essa será divergente. Assim, ao denotarmos por sua n-ésima soma, ou seja, , diz-se que se a sequência for convergente e existir, então a série será convergente e . Com base nessas informações, e considerando , pode-se afirmar que
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é .
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .