Testes de Convergência:
- Se tentarmos somar os termos de uma sequência de números reais (
), obteremos uma expressão da forma
(1) que é denominada série infinita ou simplesmente série.
Assim, dada a série (1), denotemos por
sua
-ésima soma parcial. Se a sequência
for convergente
, então, a série será dita convergente e escreveremos
. O número
é denominado soma da série. Caso contrário, a série será dita divergente.
Observe, pela definição apresentada, que a soma de uma série é o limite da sequência de suas somas parciais. Desde modo, quando escrevemos
queremos dizer que, somando uma quantidade suficiente de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número
.
Das propriedades aritméticas do limite de sequências, concluímos que se
forem séries convergentes, então, a série
será convergente, com
. Além disso, se
convergir, então, para todo número real
, ter-se-á
convergente, com
.
CERQUEIRA, A. C. S. Um estudo sobre sequências e séries. 2013. 58 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro, 2013.
Pode-se destacar a série geométrica definida por
Observe que cada termo é obtido por meio da multiplicação do número real
,
é denominado razão. Sabe-se que se
a série será divergente, caso contrário, se
a série será convergente.
Dada série geométrica
, observa-se que
, portanto, a série é convergente. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a série
converge para
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
Assim, dada a série (1), denotemos por
Observe, pela definição apresentada, que a soma de uma série é o limite da sequência de suas somas parciais. Desde modo, quando escrevemos
Das propriedades aritméticas do limite de sequências, concluímos que se
CERQUEIRA, A. C. S. Um estudo sobre sequências e séries. 2013. 58 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro, 2013.
Pode-se destacar a série geométrica definida por
Dada série geométrica
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente encontrar para qual valor a série
converge. A gente vai usar conceitos de séries geométricas para resolver isso. Então, vamos precisar lembrar como funciona uma série geométrica e como calcular sua soma quando ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série que temos é uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (
). A fórmula geral de uma série geométrica infinita é:
Ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 (
) e, nesse caso, a soma é dada por:
Passo 3
Agora, vamos ajustar nossa série para caber nessa fórmula. A nossa série começa no
e é da forma
. Para igualar isso à fórmula padrão, precisamos reescrever a série começando do
:
Aqui, o primeiro termo (
) é
e a razão (
) é
.
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos usar a fórmula da soma da série geométrica:
Resposta
B)
.
Exercícios relacionados
Considere os conjuntos
e
. Classifique as proposições abaixo como verdadeiras
ou falsas
.
©
©
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Considere os conjuntos
e
. Classifique as proposições abaixo como verdadeiras
ou falsas
.
(g)
(g)
Considerando uma sequência infinita
, para todo
, define-se série infinita como sendo a soma de todos os termos de
e escrevemos:
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de obtiver um número real, caso contrário, essa será divergente. Assim, ao denotarmos
por sua n-ésima soma, ou seja, , diz-se que se a sequência
for convergente e
existir, então a série será convergente e
. Com base nessas informações, e considerando
, pode-se afirmar que
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é .
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .
Sabe-se que uma série será convergente se a soma dos infinitos termos de
A) a série é divergente.
B) a série é convergente, e sua soma é
C) a série é convergente, e sua soma é
D) a série é convergente, e sua soma é 5 .
E) a série é convergente, e sua soma é 1 .