Testes de Convergência:

  1. Se tentarmos somar os termos de uma sequência de números reais ( an ), obteremos uma expressão da forma sumn=1^infty an=a1+a2+a3+ldots+an+ldots (1) que é denominada série infinita ou simplesmente série.
    Assim, dada a série (1), denotemos por ^s n sua n-ésima soma parcial. Se a sequência (sn) for convergente e^lim sn=s, então, a série será dita convergente e escreveremos sum an=s. O número s é denominado soma da série. Caso contrário, a série será dita divergente.
    Observe, pela definição apresentada, que a soma de uma série é o limite da sequência de suas somas parciais. Desde modo, quando escrevemos sum an=s queremos dizer que, somando uma quantidade suficiente de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número s.
    Das propriedades aritméticas do limite de sequências, concluímos que se
    e sum bn forem séries convergentes, então, a série sum an+bn será convergente, com sum(an+bn)=sum an+sum bn. Além disso, se sum an convergir, então, para todo número real M, ter-se-á sum M an convergente, com sum M an=M sum an.
    CERQUEIRA, A. C. S. Um estudo sobre sequências e séries. 2013. 58 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro, 2013.
    Pode-se destacar a série geométrica definida por
sumn=1^infty a r^n-1=a+a r+a r^2+a r^4+ldots+a r^n+ldots, a neq 0
Observe que cada termo é obtido por meio da multiplicação do número real r, r é denominado razão. Sabe-se que se |r| >= 1 a série será divergente, caso contrário, se |r|<1 a série será convergente.
Dada série geométrica s=sumn=2^infty 1 cdot(12)^n, observa-se que r=12 <= 1, portanto, a série é convergente. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a série s converge para
A) s=14.
B) s=12.
C) s=1.
D) s=34.
E) s=32.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente encontrar para qual valor a série converge. A gente vai usar conceitos de séries geométricas para resolver isso. Então, vamos precisar lembrar como funciona uma série geométrica e como calcular sua soma quando ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série que temos é uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ( sumn=0^infty a r^n = a + a r + a r^2 + a r^3 + ldots ). A fórmula geral de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ) e, nesse caso, a soma é dada por:

Passo 3

Agora, vamos ajustar nossa série para caber nessa fórmula. A nossa série começa no s = sumn=2^infty (12)^n = (12)^2 + (12)^3 + (12)^4 + ldots e é da forma . Para igualar isso à fórmula padrão, precisamos reescrever a série começando do :
Aqui, o primeiro termo ( ) é e a razão ( ) é .

Passo 4

Agora que temos S = a1 - r = 141 - 12 = 1412 = 14 times 2 = 12 e , podemos usar a fórmula da soma da série geométrica:

Resposta

B) .

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