Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=11+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que desenvolver a série da função usando a série conhecida . A matéria aqui envolve séries de potências, e vamos precisar usar substituição para adaptar a série que já conhecemos para a função que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a nossa função f(x) = 11 + x = 11 - (-x) pode ser escrita de uma forma que se pareça com a série que já conhecemos. Veja só:
Aqui, substituímos por na expressão . Isso é uma substituição simples que nos ajuda a usar a série conhecida para desenvolver a série de .

Passo 3

Agora que conseguimos escrever 11 - x = sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ldots como 11 - (-x) = sumn=0^infty (-x)^n = 1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + ldots , podemos substituir 11 + x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ldots por na série original. A série que conhecemos é:
Substituindo por , ficamos com:
Simplificando os termos, temos:

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original | -x | < 1 Rightarrow |x| < 1 converge quando . Como fizemos a substituição , a condição de convergência não muda:
Então, o intervalo de convergência para a série de também é .

Resposta

A série de 11+x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ldots = sumn=0^infty (-1)^n x^n é:
E o intervalo de convergência dessa série é , ou seja, .

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