Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que desenvolver a série da função
usando a série conhecida
. A matéria aqui envolve séries de potências, e vamos precisar usar substituição para adaptar a série que já conhecemos para a função que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a nossa função
pode ser escrita de uma forma que se pareça com a série que já conhecemos. Veja só:
Aqui, substituímos
por
na expressão
. Isso é uma substituição simples que nos ajuda a usar a série conhecida para desenvolver a série de
.
Passo 3
Agora que conseguimos escrever
como
, podemos substituir
por
na série original. A série que conhecemos é:
Substituindo
por
, ficamos com:
Simplificando os termos, temos:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original
converge quando
. Como fizemos a substituição
, a condição de convergência não muda:
Então, o intervalo de convergência para a série de
também é
.
Resposta
A série de
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Considere
. Encontre:
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
a)
a)
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Considere
dada por
.
a) Determine .
a) Determine