Considere
. Encontre:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar
, que basicamente significa a derivada da função
. A função dada é uma série infinita:
Então, vamos precisar usar conceitos de derivadas e séries infinitas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como derivar uma série infinita termo a termo. Isso é permitido se a série converge de forma adequada. Aderivação termo a termo significa que a derivada da soma é igual à soma das derivadas. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo individualmente. A derivada de
em relação a
é
. Então, temos:
Passo 4
Essa série que sobraram
é conhecida e pode ser simplificada. Sabemos que:
Portanto, substituindo na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
a)
a)
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d) .
d)
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: