Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
a) f_xx(0,0)=2, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todo lugar, e a origem é um ponto crítico dessa função. Nosso objetivo aqui é usar o teste da derivada segunda para descobrir que informação ele nos dá, considerando que , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um ponto crítico. Um ponto crítico é onde as derivadas parciais primeiras são zero, ou seja, e . Isso significa que a função tem uma inclinação horizontal nesse ponto, podendo ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o teste da derivada segunda. Para classificar o ponto crítico, calculamos o discriminante da seguinte forma:
Esse discriminante ajuda a determinar a natureza do ponto crítico.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante com os valores dados:

Passo 5

Com o valor de , o teste da derivada segunda não é conclusivo. Isso significa que, com essas informações, não conseguimos determinar se o ponto crítico é um máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para classificar o ponto, precisaríamos de informações adicionais ou usar outro método.

Resposta

O teste da derivada segunda é inconclusivo para classificar o ponto crítico na origem.

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Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d) f_xx(0,0)=-3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=-2.
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes: sumn=1^infty (x+1)^nn cdot 2^n
Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: DC f(x)
Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=11+x