Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função
que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todo lugar, e a origem
é um ponto crítico dessa função. Nosso objetivo aqui é usar o teste da derivada segunda para descobrir que informação ele nos dá, considerando que
,
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um ponto crítico. Um ponto crítico é onde as derivadas parciais primeiras são zero, ou seja,
e
. Isso significa que a função tem uma inclinação horizontal nesse ponto, podendo ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o teste da derivada segunda. Para classificar o ponto crítico, calculamos o discriminante
da seguinte forma:
Esse discriminante ajuda a determinar a natureza do ponto crítico.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante
com os valores dados:
Passo 5
Com o valor de
, o teste da derivada segunda não é conclusivo. Isso significa que, com essas informações, não conseguimos determinar se o ponto crítico é um máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para classificar o ponto, precisaríamos de informações adicionais ou usar outro método.
Resposta
O teste da derivada segunda é inconclusivo para classificar o ponto crítico na origem.
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Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d) .
d)
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes:
Considere
. Encontre:
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: