Considere f: N -> R dada por f(n)=(-1)^n * n.
a) Determine Im f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para determinar a imagem da função definida por . Aqui, estamos trabalhando com funções, mais especificamente com o conceito de imagem de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função transforma os números naturais ( ) em números reais ( ) usando a fórmula dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de uma função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando aplicamos todos os elementos do domínio nela. No nosso caso, o domínio é , ou seja, os números naturais .

Passo 3

Vamos analisar a função . Aqui, é uma expressão que alterna o sinal do resultado dependendo se é par ou ímpar:
  • Se for ímpar, , então .
  • Se for par, , então .

Passo 4

Vamos calcular alguns valores para visualizar melhor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.

Passo 5

Observamos que a função gera uma sequência que alterna entre números negativos e positivos:
Isso significa que a imagem da função consiste em todos os números naturais multiplicados por quando é ímpar e permanecendo positivos quando é par.

Passo 6

Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais que podem ser escritos na forma para algum número natural . Em termos de conjunto, podemos representar assim:

Resposta

A imagem de é o conjunto .

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