Considere
dada por
.
a) Determine
.
a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para determinar a imagem da função
definida por
. Aqui, estamos trabalhando com funções, mais especificamente com o conceito de imagem de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função transforma os números naturais (
) em números reais (
) usando a fórmula dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de uma função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando aplicamos todos os elementos do domínio nela. No nosso caso, o domínio é
, ou seja, os números naturais
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Aqui,
é uma expressão que alterna o sinal do resultado dependendo se
é par ou ímpar:
- Se
for ímpar, , então . - Se
for par, , então .
Passo 4
Vamos calcular alguns valores para visualizar melhor:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Passo 5
Observamos que a função gera uma sequência que alterna entre números negativos e positivos:
Isso significa que a imagem da função
consiste em todos os números naturais multiplicados por
quando
é ímpar e permanecendo positivos quando
é par.
Passo 6
Portanto, a imagem da função
é o conjunto de todos os números reais que podem ser escritos na forma
para algum número natural
. Em termos de conjunto, podemos representar assim:
Resposta
A imagem de
é o conjunto
.
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Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
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Desenvolva, em série de potências, em torno de
e de
, a seguinte função:
.
Uma caixa retangular tem área de superfície total de
. Expresse o volume da caixa como uma função das dimensões
e
da base da caixa.