Considerando a série , com domínio de convergência , desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos desenvolver a função em uma série de potências. Para isso, vamos usar a série geométrica que conhecemos: , que vale para . Precisamos adaptar essa série para representar a nossa função .
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função para que ela fique parecida com a série geométrica que conhecemos. Observe que:
Podemos fatorar o 4 no denominador:
Agora, a função está na forma , onde .
Passo 3
Sabemos que a série geométrica pode ser escrita como:
Substituindo por , temos:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. A série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, a série que desenvolvemos é válida para .
Resposta
A série de f(x) = sumn=0^infty x^n4^n = 1 + x4 + x^216 + x^364 + ldots é: