Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=44-x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos desenvolver a função em uma série de potências. Para isso, vamos usar a série geométrica que conhecemos: , que vale para . Precisamos adaptar essa série para representar a nossa função .

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função f(x) = 44 - x para que ela fique parecida com a série geométrica que conhecemos. Observe que:
f(x) = 44 (1 - x4) = 11 - x4
Podemos fatorar o 4 no denominador:
Agora, a função está na forma , onde .

Passo 3

Sabemos que a série geométrica 11 - y = sumn=0^infty y^n pode ser escrita como:
f(x) = 11 - x4 = sumn=0^infty (x4)^n = sumn=0^infty x^n4^n
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. A série geométrica converge quando | x4 | < 1 implies |x| < 4 . No nosso caso, , então:
Portanto, a série que desenvolvemos é válida para .

Resposta

A série de f(x) = sumn=0^infty x^n4^n = 1 + x4 + x^216 + x^364 + ldots é:
válida para .

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Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=11+x
Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: DC f(x)
Considere f: N -> R dada por f(n)=(-1)^n * n.
a) Determine Im f.
Desenvolva, em série de potências, em torno de a = 0 e de a = -4, a seguinte função: f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x - 2.