Desenvolva, em série de potências, em torno de a = 0 e de a = -4, a seguinte função: f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x - 2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos desenvolver a função em séries de potências ao redor de dois pontos: e . Isso significa que vamos representar como uma soma de potências de nesses pontos. Para isso, vamos usar a série de Taylor, que nos permite expandir funções suaves em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos desenvolver a série de potências em torno de , também conhecida como série de Maclaurin. A fórmula geral da série de Taylor em torno de é:
No caso da série de Maclaurin, substituímos por 0:
Como é um polinômio de terceiro grau, a série vai até o termo .
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
  1. Função original:
  2. Primeira derivada:
  3. Segunda derivada:
  4. Terceira derivada:
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Como esperado, a série de Maclaurin coincide com a função original, já que é um polinômio.

Passo 3

Agora, vamos desenvolver a série de potências em torno de . Utilizamos novamente a fórmula da série de Taylor:
Como é um polinômio de terceiro grau, a série termina no termo .
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
  1. Função original:
  2. Primeira derivada:
  3. Segunda derivada:
  4. Terceira derivada:
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:

Resposta

A série de potências da função desenvolvida em torno de é:
E desenvolvida em torno de é:

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