Desenvolva, em série de potências, em torno de
e de
, a seguinte função:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos desenvolver a função
em séries de potências ao redor de dois pontos:
e
. Isso significa que vamos representar
como uma soma de potências de
nesses pontos. Para isso, vamos usar a série de Taylor, que nos permite expandir funções suaves em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos desenvolver a série de potências em torno de
, também conhecida como série de Maclaurin. A fórmula geral da série de Taylor em torno de
é:
No caso da série de Maclaurin, substituímos
por 0:
Como
é um polinômio de terceiro grau, a série vai até o termo
.
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
-
Função original:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Como esperado, a série de Maclaurin coincide com a função original, já que
é um polinômio.
Passo 3
Agora, vamos desenvolver a série de potências em torno de
. Utilizamos novamente a fórmula da série de Taylor:
Como
é um polinômio de terceiro grau, a série termina no termo
.
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
-
Função original:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Resposta
A série de potências da função
desenvolvida em torno de
é:
E desenvolvida em torno de
é:
Exercícios relacionados
Considere
dada por
.
a) Determine .
a) Determine
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Uma caixa retangular tem área de superfície total de
. Expresse o volume da caixa como uma função das dimensões
e
da base da caixa.
Determine três números positivos cuja soma seja 48 e que seu produto seja maior possível.