Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=1(1-x)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é desenvolver a série da função usando a série conhecida . Isso envolve conceitos de séries de potências, convergência e técnicas como derivação termo a termo. Vamos usar essas ferramentas para encontrar a série de e descobrir onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série é válida para . Isso significa que a série converge nesse intervalo. A nossa função é relacionada a essa série original, e vamos usar derivação para encontrar a série correspondente.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da série original em relação a ddx( 11 - x ) = ddx( sumn=0^infty x^n ) . A derivada de 1(1 - x)^2 = sumn=0^infty ddx x^n = sumn=0^infty n x^n-1 é , que é exatamente a nossa função . Então, derivando a série termo a termo, temos:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos ajustar o índice da soma para facilitar a expressão. Se substituirmos sumn=0^infty n x^n-1 = sumn=1^infty n x^n-1 por sumn=1^infty n x^n-1 = sumn=0^infty (n + 1) x^n , a série fica mais clara:
Fazendo a mudança de índice, temos:

Passo 5

Então, a série de f(x) = sumn=0^infty (n + 1) x^n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ldots pode ser escrita como:

Resposta

A série de sumn=0^infty (n + 1) x^n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ldots é
com intervalo de convergência .

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Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=1x-1
Escreva:
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Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=arctg x