Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é desenvolver a série da função
usando a série conhecida
. Isso envolve conceitos de séries de potências, convergência e técnicas como derivação termo a termo. Vamos usar essas ferramentas para encontrar a série de
e descobrir onde ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série
é válida para
. Isso significa que a série converge nesse intervalo. A nossa função
é relacionada a essa série original, e vamos usar derivação para encontrar a série correspondente.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da série original em relação a
. A derivada de
é
, que é exatamente a nossa função
. Então, derivando a série termo a termo, temos:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos ajustar o índice da soma para facilitar a expressão. Se substituirmos
por
, a série fica mais clara:
Fazendo a mudança de índice, temos:
Passo 5
Então, a série de
pode ser escrita como:
Resposta
A série de
é
com intervalo de convergência
.
Exercícios relacionados
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Escreva:
c) como uma potência de 5.
c)
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: