Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=arctg x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver a série de Taylor da função 11-x = sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ldots usando a série geométrica que a gente já conhece:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e análise de funções. Para resolver, vamos precisar de substituições e integrações termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de ddx arctan(x) = 11 + x^2 é:
Então, para encontrar a série de , vamos trabalhar com a série de .

Passo 3

A gente sabe que a série geométrica é válida para 11 + x^2 = 11 - (-x^2) . Queremos adaptar isso para . Observe que:
Isso se encaixa na forma da série geométrica , onde aqui .

Passo 4

Aplicando a série geométrica, temos:
11 + x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n
Essa série converge para , ou seja, .

Passo 5

Agora, para encontrar arctan(x) = integral0^x 11 + t^2 dt = integral0^x sumn=0^infty (-1)^n t^2n dt , vamos integrar a série termo a termo:
arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n integral0^x t^2n dt = sumn=0^infty (-1)^n [ t^2n+12n+1 ]0^x
Integrando cada termo da série:
arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1
Simplificando:

Passo 6

Então, a série de arctan(x) = x - x^33 + x^55 - x^77 + ldots fica:
E o intervalo de convergência é o mesmo da série original, ou seja, .

Resposta

A série de arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 = x - x^33 + x^55 - x^77 + ldots desenvolvida em série de potências é:
Com intervalo de convergência para .

Exercícios relacionados

Escreva:
c) 5^3 * 25^2000 como uma potência de 5.
Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=1(1-x)^2
Determine os quatro menores números positivos x em R tais que:
e) sen x = 1/2
a) lim x 0 5-5 cos x2 x^2