Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver a série de Taylor da função
usando a série geométrica que a gente já conhece:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e análise de funções. Para resolver, vamos precisar de substituições e integrações termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
é:
Então, para encontrar a série de
, vamos trabalhar com a série de
.
Passo 3
A gente sabe que a série geométrica é válida para
. Queremos adaptar isso para
. Observe que:
Isso se encaixa na forma da série geométrica
, onde aqui
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica, temos:
Essa série converge para
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos integrar a série termo a termo:
Integrando cada termo da série:
Simplificando:
Passo 6
Então, a série de
fica:
E o intervalo de convergência é o mesmo da série original, ou seja,
.
Resposta
A série de
desenvolvida em série de potências é:
Com intervalo de convergência para
.
Exercícios relacionados
Escreva:
c) como uma potência de 5.
c)
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Determine os quatro menores números positivos
tais que:
e)
e)
a)