Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?
Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o Núcleo da Transformação Linear
definida por
e determinar sua dimensão. Para isso, vamos precisar saber o que é o núcleo de uma transformação linear e como resolvê-lo usando sistemas de equações.
Passo 2
O Núcleo de uma transformação linear, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que a transformação manda para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os
tais que:
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos supor que
e
são expressões lineares em
e
. Por exemplo, podem ser algo como:
Para encontrar o núcleo, substituímos essas expressões na equação
:
Passo 4
Agora, resolvemos esse sistema de equações lineares. Dependendo dos coeficientes
e
, podemos ter diferentes situações:
- Sistema homogêneo com solução trivial: Apenas
e satisfazem as equações. Nesse caso, o núcleo contém apenas o vetor zero e sua dimensão é 0. - Sistema homogêneo com infinitas soluções: Existem valores de
e diferentes de zero que satisfazem as equações. Nesse caso, o núcleo será uma linha ou um plano, dependendo do espaço, e a dimensão será 1 ou maior.
Passo 5
Após resolver o sistema, identificamos todas as soluções
. Essas soluções formam o núcleo de
. A dimensão do núcleo é o número de vetores independentes necessários para gerar todo o núcleo, ou seja, é o número de variáveis livres no sistema.
Resposta
O Núcleo da Transformação Linear
é o conjunto de todas as soluções
que satisfazem o sistema
e
. A dimensão do núcleo depende do número de soluções livres desse sistema, podendo ser 0 se houver apenas a solução trivial ou maior se existirem infinitas soluções.
Exercícios relacionados
Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(a) .
(a)
Os pontos
e
pertencem à reta de equação
, têm abscissas
e
, respectivamente. A distância entre
e
é
e a ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Determine o valor de
.
Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(b) .
(b)
Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é estável ou instável?