Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear: T(x, y)=(E1, E2)
Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o Núcleo da Transformação Linear definida por e determinar sua dimensão. Para isso, vamos precisar saber o que é o núcleo de uma transformação linear e como resolvê-lo usando sistemas de equações.

Passo 2

O Núcleo de uma transformação linear, denotado por T(x, y) = (E1, E2) = (0, 0) , é o conjunto de todos os vetores E1 = 0 E2 = 0 que a transformação manda para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos supor que E1 = a1x + b1y E2 = a2x + b2y e a1x + b1y = 0 a2x + b2y = 0 são expressões lineares em e . Por exemplo, podem ser algo como:
Para encontrar o núcleo, substituímos essas expressões na equação :

Passo 4

Agora, resolvemos esse sistema de equações lineares. Dependendo dos coeficientes e , podemos ter diferentes situações:
  • Sistema homogêneo com solução trivial: Apenas e satisfazem as equações. Nesse caso, o núcleo contém apenas o vetor zero e sua dimensão é 0.
  • Sistema homogêneo com infinitas soluções: Existem valores de e diferentes de zero que satisfazem as equações. Nesse caso, o núcleo será uma linha ou um plano, dependendo do espaço, e a dimensão será 1 ou maior.

Passo 5

Após resolver o sistema, identificamos todas as soluções . Essas soluções formam o núcleo de . A dimensão do núcleo é o número de vetores independentes necessários para gerar todo o núcleo, ou seja, é o número de variáveis livres no sistema.

Resposta

O Núcleo da Transformação Linear é o conjunto de todas as soluções que satisfazem o sistema e . A dimensão do núcleo depende do número de soluções livres desse sistema, podendo ser 0 se houver apenas a solução trivial ou maior se existirem infinitas soluções.

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