Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o Núcleo da Transformação Linear definida por e determinar sua dimensão. Para isso, vamos precisar saber o que é o núcleo de uma transformação linear e como resolvê-lo usando sistemas de equações.

Passo 2

O Núcleo de uma transformação linear, denotado por , é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos supor que e são expressões lineares em e . Por exemplo, podem ser algo como:
Para encontrar o núcleo, substituímos essas expressões na equação :

Passo 4

Agora, resolvemos esse sistema de equações lineares. Dependendo dos coeficientes e , podemos ter diferentes situações:
  • Sistema homogêneo com solução trivial: Apenas e satisfazem as equações. Nesse caso, o núcleo contém apenas o vetor zero e sua dimensão é 0.
  • Sistema homogêneo com infinitas soluções: Existem valores de e diferentes de zero que satisfazem as equações. Nesse caso, o núcleo será uma linha ou um plano, dependendo do espaço, e a dimensão será 1 ou maior.

Passo 5

Após resolver o sistema, identificamos todas as soluções . Essas soluções formam o núcleo de . A dimensão do núcleo é o número de vetores independentes necessários para gerar todo o núcleo, ou seja, é o número de variáveis livres no sistema.

Resposta

O Núcleo da Transformação Linear é o conjunto de todas as soluções que satisfazem o sistema e . A dimensão do núcleo depende do número de soluções livres desse sistema, podendo ser 0 se houver apenas a solução trivial ou maior se existirem infinitas soluções.

Exercícios relacionados

Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de . Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(a) .
Os pontos e pertencem à reta de equação , têm abscissas e , respectivamente. A distância entre e é e a ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Determine o valor de .
Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de . Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(b) .
Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é estável ou instável?