Considerando o sistema em x, y, z
ccc 3 x+9 y+(k^2-1) z & = & k+1 x+3 y+(1-k^2) z & = & -k-1 3 x+11 y+(1-k^2) z & = & -k-1
tenha
Encontre a matriz linha reduzida à forma escada equivalente à matriz do ítem anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três variáveis: , e . O que precisamos aqui é transformar a matriz do sistema em uma forma escada usando operações de linha. Para isso, vamos precisar aplicar algumas técnicas de eliminação de Gauss para simplificar a matriz passo a passo até chegarmos na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
3 & 9 & k^2-1 & | & k+1 1 & 3 & 1 - k^2 & | & -k-1 3 & 11 & 1 - k^2 & | & -k-1

Passo 3

O próximo passo é deixar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 para facilitar as operações. Podemos fazer isso dividindo toda a primeira linha por 3:
R1 = 13 R1
Então, a matriz fica:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 1 & 3 & 1 - k^2 & | & -k-1 3 & 11 & 1 - k^2 & | & -k-1

Passo 4

Agora, vamos zerar o primeiro elemento das linhas 2 e 3. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e três vezes a primeira linha da terceira:
R2 = R2 - R1
R3 = R3 - 3R1
Fazendo as contas:
Para 1 - 1 = 0 :
3 - 3 = 0
1 - k^2 - k^2-13 = 3(1 - k^2) - (k^2-1)3 = 3 - 3k^2 - k^2 + 13 = 4 - 4k^23 = 4(1 - k^2)3
-k -1 - k+13 = -3k -3 -k -13 = -4k -43 = -4(k +1)3
3 - 3 times 1 = 0
Para 11 - 3 times 3 = 11 - 9 = 2 :
1 - k^2 - 3 times k^2-13 = 1 - k^2 - (k^2 -1) = 1 - k^2 - k^2 +1 = 2 - 2k^2 = 2(1 - k^2)
-k -1 - 3 times k+13 = -k -1 - (k +1) = -2k -2 = -2(k +1)
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 4(1 - k^2)3 & | & -4(k +1)3 0 & 2 & 2(1 - k^2) & | & -2(k +1)
Então, a matriz fica:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por R2 = 34 R2 para facilitar:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 1 - k^2 & | & - (k +1) 0 & 2 & 2(1 - k^2) & | & -2(k +1)
Isso resulta em:

Passo 6

Agora, vamos usar a terceira linha para eliminar o termo R3 = R3 - 2 times R2 na segunda linha. Para isso, podemos subtrair a segunda linha da terceira:
2(1 - k^2) - 2 (1 - k^2) = 0
Calculando:
-2(k +1) - 2(- (k +1)) = -2(k +1) + 2(k +1) = 0
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 1 - k^2 & | & - (k +1) 0 & 0 & 0 & | & 0
Então, a terceira linha fica completamente zero:

Passo 7

Vamos organizar a matriz para ficar mais clara, colocando a segunda linha acima da terceira:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 1 - k^2 & | & - (k +1) 0 & 0 & 0 & | & 0
Essa é a matriz na forma escada. Não há mais operações a serem feitas, pois já simplificamos o máximo possível.

Resposta

A matriz linha reduzida à forma escada é:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 1 - k^2 & | & - (k +1) 0 & 0 & 0 & | & 0

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